A polytopal approach to Apollonian packings and discrete knotted structures
Une approche polytopale des empilements apolloniens et des structures nouées discrètes
Résumé
In the last decades, Apollonian packings have drawn increasing attention due to
their applications in number theory, geometric group theory, hyperbolic geometry,
fractal structures and discrete geometry. In this thesis, we study a class of sphere
packings where the combinatorics is carried by an edge-scribed polytope. Through
this connection, Apollonian packings can be generalized in different geometric settings
and in higher dimensions. The polytopal structure also allows us to obtain a
generalization of the Descartes’ Theorem for the sphere packings which are based
on the regular polytopes in every dimension. We use the polytopal generalization
of the Descartes’ Theorem to find integrality conditions of the Apollonian packings
based on the Platonic solids. Then, we introduce the notion of Apollonian section,
and we use it to show that the set of curvatures of any integral tetrahedral, octahedral
or cubical Apollonian packing is contained in the set of curvatures of an integral
orthoplicial Apollonian packing.
The polytopal approach that we propose also allows us to extend the applications
of Apollonian packings into a novel direction in the area of topology. In
this thesis, we introduce two methods of construction of necklace representations
of knots and links. The first method follows directly from the Koebe-Andreev-
Thurston Circle Packing Theorem and gives a linear upper bound on the minimum
number of spheres needed to construct a necklace representation in terms of the
crossing number. In the second method, we use the fractal structure of orthoplicial
Apollonian packings to construct necklace representations of rational links with
interesting arithmetical properties.
Les empilements apolloniens ont attiré l’attention des mathématiciens en raison
de leurs applications en théorie des nombres, théorie géométrique des groupes,
géométrie hyperbolique, structures fractales et géométrie discrète. Dans cette thèse,
nous introduisons une classe d’empilements de sphères où la combinatoire est donnée
par un polytope inscrit aux arêtes. À travers cette connexion, nous généralisons
les empilements apolloniens dans d’autres contextes géométriques et en dimensions
supérieures. Cette structure polytopale permet également d’obtenir une généralisation
du théorème de Descartes pour les empilements de sphères provenant des
polytopes réguliers dans toutes les dimensions. Nous utilisons ce résultat pour caractériser
l’intégralité des empilements apolloniens provenant des solides platoniciens.
Puis, nous introduisons la notion de section apollonienne, et nous l’utilisons
pour montrer que l’ensemble des courbures de tout empilement apollonien intégral
tétraédrique, octaédrique ou cubique est contenu dans l’ensemble des courbures
d’un empilement apollonien orthoplicial intégral.
L’approche polytopale que nous proposons nous permet également d’étendre les
applications des empilements apolloniens dans une nouvelle direction dans le domaine
de la topologie. Dans cette thèse, nous introduisons deux méthodes de construction
de représentations en colliers de noeuds et d’entrelacs. La première méthode
découle directement du théorème d’empilements de cercles de Koebe-Andreev-
Thurston, et donne une borne supérieure linéaire sur le nombre minimal de sphères
nécessaires pour construire une représentation en collier en termes du nombre minimal
de croisements. Dans la seconde méthode, nous utilisons la structure fractale
des empilements apolloniens orthopliciaux pour construire des représentations en
collier des entrelacs rationnels avec des propriétés arithmétiques intéressantes.
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