Caractères de représentations unitaires de plus haut poids via la correspondance de Howe et la formule de Rossmann-Duflo-Vergne - Archive ouverte HAL Access content directly
Theses Year : 2017

Characters of Unitary Highest Weight Representations via Howe Correspondence and Rossmann-Duflo-Vergne formula

Caractères de représentations unitaires de plus haut poids via la correspondance de Howe et la formule de Rossmann-Duflo-Vergne

Allan Merino

Abstract

The topic of this thesis is the character of an irreducible unitary highest weight (IUHW) representation of the group U(p,q,C). As shown by Harish-Chandra, an irreducible unitary representation of a real reductive group has a character, which is a locally integrable function on the group. Integrating that function against a test function gives the trace of the operator obtained by applying the representation to the test function. Also, there is a bijective correspondence between the equivalence classes of irreducible unitary representations and their characters. If the group is compact then the representation is finite dimensional and the the character is equal to the trace of the representation. Weyl classified all irreducible unitary representations of compact connected Lie groups and described their characters. By taking derivatives, one obtains a representation of the complexified Lie algebra. A Borel subalgebra has a one-dimensional eigenspace. The corresponding eigencharacter is the highest weight of the representation. So, there is a bijection between equivalence classes of irreducible unitary representations and some highest weights. The equivalence classes of irreducible unitary representations of a real reductive group are far from being understood. However Harish-Chandra introduced the notion of an irreducible admissible highest weight representation, which is not necessarily unitary. Each of them is determined by an eigencharacter of a Borel subalgebra, also called the highest weight. By the works of Jacobsen, Enright-Howe-Wallach it is clear now which highest weights in Harish-Chandra's construction correspond to unitary representations. If an IUHW representation of a real reductive group occurs as a subrepresentation of the space of the square integrable functions on the group, then a formula of Harish-Chandra describes the restriction of the character to the subset of the regular elliptic elements, i.e. the union of conjugacy classes passing through the regular points of a maximal compact Cartan subgroup. Later Enright gave a formula for the restriction of the character to the subset of the regular elliptic elements of an arbitrary IUHW representation of a classical group. Enright's formula is explicit, but contains many hidden cancellations. Also, the proof is based on homological algebra rather than a direct analytic method as in Harish-Chandra's construction. In this thesis we compute the restriction of the character of an IUHW representation to the subset of the regular elliptic elements of U(p,q,C). The result is more explicit than Enright's and we check in a few cases that the two formulas are equivalent. Checking the equivalence in general is not easy and we do not do it. We use two independent methods. The first one is to compute an integral involving the character of Weil representation via the Residue Theorem. It is straightforward, but the result lacks any pleasing structure. The second method is to realize the representation in Howe's correspondence, i.e. as a subrepresentation of the Weil representation restricted to a dual pair with one member compact. Then we combine the known explicit description of the Weil representation, adopted to this context in a work of McKee-Pasquale-Przebinda, with a formula of Rossmann-Duflo-Vergne (also based on a study of the Weil representation) for the Fourier transform of an elliptic orbital integral. The resulting formula is compatible with the orbit correspondence and has close resemblance to Harish-Chandra's formula.
Le sujet de cette thèse est le caractère d'une représentation unitaire irréductible de plus haut poids (UIPHP) du groupe U(p,q,C). Comme montré par Harish-Chandra, une représentation unitaire irréductible d'un groupe réductif réel possède un caractère, qui est une fonction localement intégrable sur le groupe. L'intégration de cette fonction avec une fonction test donne la trace de l'opérateur obtenu en appliquant la représentation à la fonction test. En outre, il existe une correspondance bijective entre les classes d'équivalences des représentations unitaires irréductibles et leurs caractères. Si le groupe est compact, la représentation est de dimension finie et le caractère est égal à la trace de la représentation. Weyl a classifié les représentations unitaires irréductibles des groupes de Lie compacts connexes et a décrit leurs caractères. Par différentiation on obtient une représentation de l'algèbre de Lie complexifiée. Une sous-algèbre de Borel possède un sous-espace propre de dimension un. Le caractère propre correspondant est le plus haut poids de la représentation. Ainsi, il existe une bijection entre les classes d'équivalence de représentations unitaires irréductibles et les plus haut poids. Les classes d'équivalences des représentations unitaires irréductibles d'un groupe réductif réel sont loin d'être comprises. Harish-Chandra a introduit la notion d'une représentation irréductible admissible de plus haut poids qui n'est pas nécessairement unitaire. Chacune d'elles est déterminée par un caractère d'une sous-algèbre de Borel, également appelé le plus haut poids. Grâce aux travaux de Jacobsen et Enright-Howe-Wallach, on connait aujourd'hui quels plus haut poids de la construction de Harish-Chandra correspondent à des représentations unitaires. Si une représentation UIPHP d'un groupe réductif réel se réalise comme sous-représentation de l'espace des fonctions à carré intégrable sur le groupe, une formule de Harish-Chandra décrit la restriction du caractère au sous-ensemble des éléments elliptiques réguliers, c'est-à-dire l'union des classes de conjugaison passant par les points réguliers d'un sous-groupe de Cartan compact maximal. Plus récemment, Enright a donné une formule pour la restriction du caractère au sous-ensemble des éléments elliptiques réguliers d'une représentation UIPHP arbitraire d'un groupe classique. La formule d'Enright est explicite, mais contient de nombreuses simplifications cachées. En outre, sa preuve est basée sur l'algèbre homologique plutôt que sur une méthode analytique directe comme dans la construction de Harish-Chandra. Dans cette thèse, nous calculons la restriction du caractère d'une représentation UIPHP au sous-ensemble des éléments elliptiques réguliers de U(p,q,C). Le résultat est plus explicite que celui d'Enright et nous vérifions dans quelques cas que les deux formules sont équivalentes. Vérifier l'équivalence en général n'est pas facile et nous ne le faisons pas. Nous utilisons deux méthodes indépendantes. La première consiste à calculer une intégrale impliquant le caractère de la représentation de Weil via le théorème des résidus. C'est simple, mais le résultat manque d'une structure agréable. La deuxième méthode est de réaliser la représentation dans la correspondance de Howe, c'est-à-dire comme sous-représentation de la représentation de Weil restreinte à une paire duale avec un membre compact. Ensuite, nous combinons la description explicite de la représentation de Weil, adoptée dans ce contexte dans un article de McKee-Pasquale-Przebinda, avec une formule de Rossmann-Duflo-Vergne (également basée sur l'étude de la représentation de Weil) pour la transformée de Fourier d'une intégrale orbitale elliptique. La formule résultante est compatible avec la correspondance des orbites et ressemble à la formule de Harish-Chandra.
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tel-03351060 , version 1 (21-09-2021)

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  • HAL Id : tel-03351060 , version 1

Cite

Allan Merino. Caractères de représentations unitaires de plus haut poids via la correspondance de Howe et la formule de Rossmann-Duflo-Vergne. Mathématiques [math]. Université de Lorraine, 2017. Français. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-03351060⟩
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