Automatic adaptive mesh refinement with controlled accuracy in a multiscale context for nonlinear solid mechanics
Raffinement adaptatif automatique de maillage à précision contrôlée dans un contexte multiéchelle pour la mécanique des solides non linéaire
Résumé
The aim of this thesis is to propose an efficient adaptive mesh refinement (AMR) method aiming to solve complex nonlinear mechanical quasi-static problems. In this context, we rely on a fully automatic generic AMR algorithm based on the use of an a posteriori error estimator. A particular attention is devoted to the fulfillment not only of the global discretization error, but also of the local (element-wise) one which is important for real applications, but very little studied in the literature. We focus on the adaptive refinement of meshes composed exclusively of quadrilateral (2D) or hexahedral (3D) elements. We introduce into the adopted algorithmic AMR framework the modules related to the problems resolution and hierarchical mesh refinement associated to each local mesh-step refinement method considered here: h-adaptive methods, conforming and non-conforming, and local multigrid or multilevel Local Defect Correction (LDC) method. A comparative numerical study in the elastostatic context permits to highlight the great potentialities of the local multigrid LDC method in terms of computation time for a given precision. The major advantage of the LDC method lies in the separate resolution of problems of limited sizes on each mesh level.
In this thesis, we are also interested in a more general numerical multiscale framework. In this framework, we have introduced a unified multiscale formalism for methods based on multilevel iterative coupling. The proposed formalism permits to define strong algorithmic and conceptual links between multilevel AMR approaches and numerical homogenization methods (e.g. finite element square FE2 approach). We show that the LDC method can be seen as a meso-homogenization approach suitable to low-scale separation problems where homogenization-based techniques are limited.
Finally, we propose an algorithmic extension of the LDC multilevel method to nonlinear quasi-static mechanical problems. We highlight the efficiency of the LDC method in this context and show its natural ability to generate a hierarchy of meshes that dynamically follows the evolution over time of the studied phenomenon. Generic questions related to fields transfer between time steps as well as to the discretization error control over time are also addressed. The proposed strategy lies on the introduction of the initial non equilibrated residual as a term source of the problem which enables us to efficiently control this error and adapt the mesh when needed.
Cette thèse a pour but de proposer une méthode efficace de raffinement adaptatif de maillage (AMR) permettant d'effectuer des calculs de mécanique quasi-statique non linéaire. Dans ce contexte nous nous appuyons sur un algorithme générique AMR entièrement automatique grâce à l'utilisation d'un estimateur d'erreur a posteriori. Une attention particulière est portée sur la vérification non seulement de l'erreur de discrétisation globale, mais également de celle locale (élémentaire) qui est importante pour des applications réelles, mais très peu étudiée dans la littérature. Nous nous focalisons sur le raffinement adaptatif de maillages uniquement composés déléments quadrilatéraux (2D) ou hexaédriques (3D). Nous introduisons dans le cadre algorithmique AMR adopté les modules de résolution et de raffinement hiérarchique spécifiques à chaque méthode de raffinement local de pas de maillage considérée : méthodes de raffinement h-adaptatif, conformes et non-conformes, et méthodes multigrilles locales ou multiniveaux de type Local Defect Correction (LDC). Une étude numérique comparative poussée dans le cas élastostatique permet de mettre en évidence les grandes potentialités de la méthode multigrille locale LDC en terme de temps de calcul pour une précision donnée. L'atout majeur de la méthode LDC réside dans la résolution séparée de problèmes de taille limitée sur l'ensemble des niveaux de maillages.
Nous nous sommes également intéressés dans cette thèse au cadre plus général du couplage numérique multiéchelle. Dans ce cadre, nous avons introduit un formalisme unifié de résolution de problèmes multiéchelles basée sur un couplage itératif multiniveau. Le formalisme proposé permet de définir les liens algorithmiques et conceptuels fort entre les approches AMR multiniveaux et les méthodes d'homogénéisation numérique (de type éléments finis au carré, EF2). Nous montrons que la méthode LDC peut être vue comme une méthode de méso-homogénéisation applicable à des problèmes à faible séparation d'échelles où les approches fondées sur la théorie d'homogénéisation sont limitées.
Finalement, nous proposons une extension algorithmique de la méthode multiniveau LDC à des problèmes de mécanique quasi-statique non linéaire. Nous mettons en évidence l'efficacité de la méthode LDC dans ce contexte et montrons sa capacité naturelle à générer une hiérarchie de maillages qui suit dynamiquement l'évolution en temps du phénomène étudié. Les questions génériques liées au transfert des champs entre les pas de temps ainsi que la problématique du contrôle de l'erreur de discrétisation sur lensemble de l'historique sont également adressées. La solution proposée reposant sur la prise en compte du déséquilibre initial sous forme de résidu du problème permet d'efficacement contrôler cette erreur et de ne raffiner le maillage que si nécessaire.
| Origine | Fichiers produits par l'(les) auteur(s) |
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