Heterogeneity in scalar conservation laws: approximation and applications
Hétérogénéité dans les lois de conservation scalaires : approximation et applications
Résumé
This thesis is devoted to the treatment of heterogeneity in scalar conservation laws. We call heterogeneous a conservation law which is not invariant by space translation. These equations arise for instance in traffic flow dynamics modeling. The presence of traffic lights or roads that have a variable maximum speed limit are examples of mechanisms which lead to heterogeneous conservation laws. Considering such equations is a way to expand macroscopic traffic flow models. We tackle three classes of inhomogeneous problems for which we extend the mathematical framework for both the theoretical analysis and the numerical approximation.
We fully investigate the treatment of heterogeneity when one or several moving interfaces are added in the classic LWR model for traffic flow. Flux constraints are attached to each interfaces. The resulting class of models can be used to take into account the presence of slow moving vehicles that reduce the road capacity and thus generates moving bottlenecks for the surrounding traffic flow. They can also describe the regulating effect of autonomous vehicles. In this framework, the interfaces and the constraints are linked in a nonlocal way to the traffic density and/or to an orderliness marker describing the state of the drivers. The description of the heterogeneity caused by the variations in the drivers' organization leads to the analysis of a so-called second order model. The numerical aspect plays a central role in the analysis of these traffic flow models. We construct robust numerical schemes and establish specific techniques to obtain compactness of the approximate solutions. Proving the convergence of these schemes lead to existence results.
Finally, with the space-dependent LWR traffic flow model in mind, we theoretically analyze a class of scalar conservation laws with explicit space dependency. Classical results such as well-posedness or the link to the associated Hamilton-Jacobi equation are obtained under a set of assumptions more fitting with the modeling hypothesis. With applications that go beyond traffic modeling in mind, we aim to tackle initial data identification problems.
Dans cette thèse, on traite la prise en compte de l'hétérogénéité dans les lois de conservation scalaires, c'est-à-dire les lois de conservation non invariantes par translation en espace. Ces équations apparaissent notamment dans les modèles de trafic. Par exemple, les mécanismes suivants introduisent de l'hétérogénéité : la présence de feux de circulation, des portions de route où la vitesse maximale est limitée, la variabilité de l'état de la route, etc... La prise en compte de l'hétérogénéité permet d'enrichir les modèles de trafic. On aborde trois classes de problèmes inhomogènes pour lesquelles on complète et approfondit le cadre mathématique pour l'analyse théorique et l'approximation numérique.
Nous explorons en détail le cadre où l'hétérogénéité est matérialisée par l'ajout d'une ou plusieurs interfaces mobiles. Le long des interfaces, on impose une condition de majoration sur le flux de la loi de conservation. Cette classe de modèles permet de tenir compte de la présence d'un petit nombre de véhicules encombrants et lents (ou alors, de véhicules autonomes qui ont pour rôle la régulation du trafic). Dans ce cadre, l'évolution des interfaces et des contraintes est couplée de façon non locale à l'état du trafic et/ou à des paramètres spécifiant l'état du véhicule ou du conducteur. En outre, nous élaborons une description de l'hétérogénéité du trafic résultant des variations du degré d'organisation des conducteurs, dans le cadre des modèles dits "du second ordre". L'aspect numérique est prépondérant pour les modèles de trafic que nous étudions. On construit des schémas numériques robustes et on élabore des techniques de compacité spécifiques. La convergence de ces schémas conduit à des résultats d'existence.
Enfin, en lien avec le modèle décrivant l'évolution d'une densité de véhicules sur une route hétérogène, on étudie théoriquement une loi de conservation dans laquelle la dépendance spatiale du flux est explicite. Des résultats classiques sur le caractère bien posé ou la correspondance avec l'équation de Hamilton-Jacobi associée sont obtenus sous des hypothèses plus en adéquation avec la modélisation que celles rencontrées dans la littérature. Les applications allant au-delà de la description du trafic, on se donne pour objectif l'analyse approfondie des problèmes d'identification de données initiales.
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