Stabilization of non-uniformly observable control systems and infinite-dimensional observers
Stabilisation des systèmes de contrôle non-uniformément observables et observateurs de dimension infinie
Résumé
This thesis deals with two different but related topics. In the first part, we are concerned with the problem of dynamic output feedback stabilization. When only part of the state of a control system is known, a stabilizing state feedback can not be directly implemented. Hence, a common strategy to stabilize the state to some target point is to design an observer system to asymptotically estimate the state by filtering the output online, and to use as an input the stabilizing state feedback applied to the observer. This approach is known to be efficient on uniformly observable systems, that are observable for all inputs. However, it is not generic for nonlinear systems to be uniformly observable when the dimension of the output is less or equal than the dimension of the input. Hence, in the presence of observability singularities, new techniques need to be developed.
In the second part, we focus on the problem of observer design for linear time-varying infinite-dimensional systems. The goal is to design a dynamical system learning the state from the output dynamics. The finite-dimensional notion of observability may be extended in several ways. In particular, one distinguishes exact and approximate observability assumptions. While exponential convergence of Luenberger observers can be proved on exactly observable systems, much less is known for approximate observability-like hypotheses, on which we focus. These observers can also be used in the context of offline reconstruction of initial data. The procedure is based on iterations of forward and backward observers, and named Back and Forth Nudging (BFN). Such methods can be applied to a batch crystallization process, where the state to be estimated is the Particle Size Distribution (PSD).
Contribution 1. On Single-Input Single-Output (SISO) bilinear systems with observable target, generic perturbations of the feedback law guarantee that the inputs produced by the closed-loop system render the system observable.
Contribution 2. On state-affine dissipative systems that are state feedback stabilizable, 0-detectability is a necessary and sufficient condition to the existence of a globally stabilizing dynamic output feedback.
Contribution 3. On examples of nonlinear systems, we illustrate three main guidelines for output feedback stabilization at an unobservable target:
- additive perturbations of the state feedback law yield new observability properties without preventing the stabilization process;
- observers with dissipative error system are robust to observability singularities;
- embeddings into finite or infinite-dimensional systems allow to design Luenberger observers with dissipative error systems.
Contribution 4. Up to a weak detectability assumption, infinite-dimensional Luenberger observers estimate the observable part of the state in the weak topology of the state space. Strong convergence can be obtained with additional assumptions on the error system.
Contribution 5. The convergence results of Contribution 4 can be adapted to the BFN context.
Contribution 6. In the context of a batch crystallization process, we propose several strategies to reconstruct the PSD:
- a direct approach based on a Tikhonov regularization, using the knowledge of the Chord Length Distribution (CLD);
- a Kazantzis-Kravaris/Luenberger (KKL) observer, using the knowledge of temperature and solute concentration;
- an infinite-dimensional Luenberger observer, based on Contributions 4 and 5, using the knowledge of the CLD.
Cette thèse s’articule autour de deux thèmes différents mais liés. Dans une première partie, nous nous intéressons au problème de stabilisation par bouclage de sortie dynamique. Lorsque seulement une partie de l’état d’un système dynamique est connue, un bouclage d’état stabilisant ne peut pas être implémenté. Dès lors, une stratégie possible pour stabiliser l’état sur un point cible consiste à concevoir un observateur, afin d’estimer l’état en filtrant la sortie, et à utiliser comme contrôleur la loi de commande stabilisante appliquée à l’observateur. Cette approche est connue pour être efficace sur les systèmes uniformément observables (i.e., observables pour toute entrée). Cependant, les systèmes non-linéaires ne sont génériquement pas uniformément observables lorsque la dimension de la sortie est inférieure à celle de l’entrée. Ainsi, en présence de singularités d’observabilité, de nouvelles techniques restent à développer.
Dans une seconde partie, nous traitons du problème de synthèse d’observateur pour les systèmes linéaires temps-variant de dimension infinie. L’objectif est de concevoir un système dynamique capable d’estimer l’état du système de départ à partir d’une mesure et de sa dynamique. La notion d’observabilité se généralise de plusieurs façons en dimension infinie. On distingue les hypothèses d’observabilité exacte et approchée. Alors qu’une convergence exponentielle des observateurs de Luenberger peut généralement être montrée sous des hypothèses d'observabilité exacte, les résultats portant sur des hypothèses d’observabilité approchée, auxquelles nous nous intéressons, sont plus rares. Ces observateurs peuvent également être utilisés dans le contexte de la reconstitution de la condition initiale d’un système. La procédure, appelée Back and Forth Nudging (BFN), est alors basée sur des itérations successives d’observateurs en temps positifs et en temps rétrograde. Ces méthodes peuvent être appliquées à un procédé de cristallisation par lots, dans lequel l’état à estimer est la distribution en taille des particules (PSD).
Contribution 1. Pour les systèmes bilinéaires possédant une entrée et une seule sortie (SISO), des perturbations génériques de la loi de commande garantissent que les entrées produites par la boucle de rétroaction rendent le système observable.
Contribution 2. Pour les systèmes dissipatifs affines en l’état stabilisables par bouclage d’état, la 0-détectabilité est une condition est nécessaire et suffisante à l’existence d’un bouclage de sortie dynamique globalement stabilisant.
Contribution 3. Sur des exemples de systèmes non-linéaires, nous illustrons trois grands principes pour la stabilisation par bouclage de sortie dynamique à une cible inobservable :
- des perturbations additives de la loi de commande engendrent de nouvelles propriétés d’observabilité, sans compromettre le processus de stabilisation;
- les observateurs à système d’erreur dissipatifs sont robustes aux singularités d’observabilité;
- des plongements dans des systèmes de dimension finie ou infinie permettent de concevoir des observateurs de Luenberger avec des systèmes d’erreur dissipatifs.
Contribution 4. Sous une hypothèse dite de détectabilité faible, les observateurs de Luenberger de dimension infinie convergent vers la partie observable de l’état dans la topologie faible de l’espace d’état.
Contribution 5. Les résultats de convergence de la Contribution 4 s’adaptent au contexte BFN.
Contribution 6. Dans le contexte d’un procédé de cristallisation par lots, nous proposons plusieurs stratégies de construction de la distribution en taille des particules PSD :
- une approche directe, basée sur une méthode de régularisation de Tikhonov, utilisant la mesure de la distribution en taille des cordes (CLD);
- un observateur de Kazantzis-Kravaris/Luenberger (KKL), utilisant la mesure de la température et de la concentration en soluté;
- un observateur de Luenberger de dimension infinie, basé sur les Contributions 4 et 5, utilisant la mesure de la CLD.
| Origine | Fichiers produits par l'(les) auteur(s) |
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