Cohomology groups of holomorphic bundles and Chern classes
Cohomologie des fibrés holomorphes et classes de Chern
Résumé
This thesis consists of two parts. In the first part, we study the cohomology of a compact Kähler manifold with values in a pseudo-effective line bundle. This part also describes various results concerning pseudo-effective vector bundles. Since several of our definitions do not require the use of a Kähler metric, the corresponding results also apply to general compact complex manifolds. The second part of the thesis concentrates on finding adequate definitions of Chern classes (or equivalently, of Chern characteristic classes) in Bott-Chern cohomology with rational coefficients. A related intersection theory is developed for that purpose in the context of integral Bott-Chern cohomology.The organisation of the thesis is as follows. In Chapter 2, we improve the hard Lefschetz theorem obtained by Demailly, Peternell and Schneider, and discuss the optimality of the resulting statement. We show in particular that the holomorphic sections constructed in this result are in fact parallel with respect to the given positive singular metrics. A consequence of this property is the existence of naturally related holomorphics foliations.In Chapter 3, we study the numerical dimension of a pseudo-effective line bundle over a compact Kähler manifold, and, in the framework of L^2 estimates, we obtain vanishing theorems analogous to those of Fedor Bogomolov and Junyan Cao, expressed in terms of numerical dimension.In Chapter 4, we introduce the definition of nefness in higher codimension, a concept that interpolates between usual nefness and pseudo-effectivity. In this setting, we give a simplified proof of a result of Nakayama on the non-existence of Zariski decompositions in dimension at least 3. We also state a variant ofthe Bogomolov theorem and study the surjectivity of the Albanese map of a compact Kähler manifold when the anticanonical line bundle is pseudo-effective.Chapter 5 discusses the concept of strongly pseudo-effective vector bundle or torsion-free sheaf, and proves the result that a strongly pseudo-effective reflexive sheaf with vanishing first Chern class over a compact Kähler manifold is in fact a numerically flat vector bundle.In Chapter 6, following some ideas of Julien Grivaux, we construct an intersection theory for the integral Bott-Chern cohomology that had been defined in 2007 by Michel Schweitzer. A combination of these works allows us to define Chern classes and to obtain a Riemann-Roch-Grothendieck formula in rational Bott-Chern cohomology.
Cette thèse comporte deux parties. Dans la première partie, nous étudions la cohomologie des variétés kähleriennes compactes à valeurs dans un fibré en droites pseudo-effectif, et également différents résultats concernant les fibrés vectoriels pseudo-effectifs. Comme certaines de nos définitions ne nécessitent pas l’existence de métriques kähleriennes, les résultats correspondents s’appliquent aussi aux variétés complexes compactes arbitraires. Dans la seconde partie, nous nous attachons à trouver une définition appropriée des classes de Chern (ou, de façon équivalente, des classes de Chern caractéristiques) pour la cohomologie de Bott-Chern à coefficients rationnels. Nous développons parallèlement une théorie de l’intersection dans le contexte de la cohomologie de Bott-Chern entière. L’organisation de la thèse est la suivante. Dans le Chapitre 2, nous améliorons le théorème de Lefschetz difficile à valeurs dans un fibré en droites démontré par Demailly, Peternell et Schneider, et discutons l’optimalité de l’énoncé qui en découle. Nous montrons en particulier que les sections holomorphes construites dans ce résultat sont en fait parallèles par rapport à la métrique singulière donnée. Une conséquence de cette propriété est l’existence de feuilletages holomorphes naturellement reliés.Dans le Chapitre 3, nous étudions la dimension numérique d’un fibré en droites pseudo-effectif sur une variété kählerienne compacte, et, dans le cadre des estimations L^2, nous obtenons des théorèmes d’annulation analogues à ceux de Fedor Bogomolov et de Junyan Cao, exprimés en termes de la dimension numérique.Dans le Chapitre 4, nous introduisons la définition du concept de fibré en droites “nef en dimension supérieure”, qui interpole entre la propriété nef usuelle et la pseudo-effectivité. Dans ce contexte, nous donnons une preuve simpliée d’un résultat de Nakayama sur la non-existence de décompositions de Zariski en dimension au moins 3. Nous énonçons aussi une variante du théorème d’annulation de Bogomolov et étudions la surjectivité du morphisme d’Albanese d’une variété kählerienne compacte dont le diviseur anticanonique est pseudo-effectif.Le Chapitre 5 propose une discussion de la notion de fibré vectoriel ou de faisceau sans torsion pseudo-effectif (au sens fort). Nous montrons qu’un faisceau réflexif pseudo-effectif au sens fort sur une variété kählerienne compacte ayant une première classe de Chern triviale est en fait numériquement plat.Dans le Chapitre 6, en nous inspirant d’idées de Julien Grivaux, nous construisons une théorie de l’intersection pour la cohomologie de Bott-Chern entière, qui avait été introduite en 2007 par Michel Schweitzer. Une combinaison de ces travaux nous permet de définir les classes de Chern et d’obtenir une formule de Riemann-Roch-Grothendieck en cohomologie de Bott-Chern rationnelle.
| Origine | Version validée par le jury (STAR) |
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