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Theses Year : 2005

Formality theorems for Lie algebroids and quantization of dynamical r-matrices

Théorèmes de formalité pour les algébroïdes de Lie et quantification des r-matrices dynamiques

Abstract

The aim of this PhD thesis is concerned with quantization problems, and is threefold. We first state and prove formality theorems for Hochschild (co)chains associated with a Lie algebroid. The proof of these statements is based essentially on the existence of a connection (in the sense of algebroids) without torsion. We also focus on the applications of these results for deformation quantization. We then prove a version of the previous results in the holomorphic setting. The main difficulties arise from the fact that there is not necessarily a holomorphic connection. In this situation, we see that applications to deformation quantization are still possible, but in a weaker sense than previously. Finally, we prove an existence and classification theorem for the quantization of dynamical r-matrices, under a reductivity hypothesis. To this end, we use the main result of the first axis, which allows us to construct a quasi-isomorphism between two appropriate differential graded Lie algebras. The introduction is in French, the body of the text in English.
L'objectif de cette thèse s'articule autour de trois axes, tous reliés à des problèmes de quantification. On se consacre tout d'abord à la formulation et la démonstration du(des) théorème(s) de formalité pour les cochaînes et les chaînes de Hochschild associées à un algébroïde de Lie. La démonstration de ce théorème repose essentiellement sur l'existence d'une connexion (au sens des algébroïdes) sans torsion. On s'attarde également sur les applications de ces résultats pour la quantification par déformation. On s'attache ensuite à démontrer une version des résultats précédents dans le cadre holomorphe. Les principales difficultés proviennent du fait qu'il n'existe pas nécessairement de connexion holomorphe. Dans cette situation, on voit que des applications a la quantification par déformation sont toujours possibles, mais dans un sens plus faible que précédemment. On démontre enfin un théorème d'existence et de classification pour la quantification des r-matrices dynamiques, sous une hypothèse de réductivité. Nous utilisons pour cela le résultat principal du premier axe, qui nous permet de construire un quasi-isomorphisme entre deux algèbres de Lie différentielles graduées appropriées. L'introduction est en français, le corps du texte en anglais.
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tel-03119394 , version 1 (23-01-2021)

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  • HAL Id : tel-03119394 , version 1

Cite

Damien Calaque. Formality theorems for Lie algebroids and quantization of dynamical r-matrices. Quantum Algebra [math.QA]. Université Louis Pasteur, 2005. English. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-03119394⟩
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