Spectral analysis for some Schrödinger fibered operator
Analyse spectrale de quelques opérateurs de Schrödinger magnétiques fibrés
Résumé
In this thesis, we study the spectrum of particular Schrödinger operators that are associated to magnetic fields with geometrical invariances.
More precisely we are interested on the case of a constant magnetic fields on the half-plane with Neumann boundary condition and on the case of a magnetic field associated with an axysymmetric potential in high dimension.
In each configuration, the Schrödinger operator is fibered and its spectrum is described by a family of real function, called band functions.
Inside the spectrum, some energy level enjoy remarkable properties and are refered to as thresholds.
They can match with the critical values of the band functions or with their limits at infinity.
In the case of a constant magnetic field on the half plane, we study the existence of resonances at the neighborhood of the atteined thresholds that are the critical values of the band functions.
The operator is perturbed by a magnetic potential of by a deformation of the border of the half plane.
To deal with each of these cases, we extend the free resolvant followed by the resolvant of the perturbed operator through the spectrum. Therefore we identify the resonancs with the poles of this extension.
Using this method we also provide the asymptotic behavior of these resonances as the perturbation vanishes.
The second model we study is the case of a unitary magnetic fields associated with an asysymmetric potential in the whole space. The magnetic fields is translationally invariant. We study the associated band funtions, in particular the influence of a the limit of the band functions that are a new kind of thershold.
Moreover each of these limits concenr an infinity of band function and every energy level is intersected by an infinity of band functions. Our main goal is to look for some consequences of this accumilation.
We prove that the band functions that intersect a given energy level may have an arbitrarily small derivative. We apply this result to prove that quantum particle affected by this fields can be localised in energy away from the thersholds but also carry a arbitrarily small current. This situation is diffrent as the one that existed before on this subject.
Cette thèse analyse le spectre d’opérateurs de Schrödinger particuliers, associés à des champs magnétiques possédant des invariances géométriques. Nous nous intéressons aux cas d’un champ magnétique constant sur le demi-plan, avec une condition au bord de Neumann, puis d’un champ magnétique en dimensions supérieures, associé à un potentiel axisymétrique.
Dans ces deux configurations, l’opérateur de Schrödinger a une structure fibrée et son spectre est décrit par une famille de fonctions réelles appelées fonctions de bande. Au sein du spectre, certains niveaux d’énergie, appelés seuils, sont remarquables. Ils peuvent correspondre aux valeurs critiques de ces fonctions de bande ou à leurs limites en l'infini.
Dans le cas d'un champ magnétique constant sur le demi-plan, nous étudions l'existence de résonances au voisinage des seuils correspondant aux valeurs critiques. Nous perturbons l’opérateur soit par l’ajout d’un potentiel électrique soit par une déformation de la frontière du demi-plan. Nous prolongeons la résolvante de l’opérateur libre à travers le spectre puis nous identifions les résonances avec les pôles de cette extension. Cette méthode nous permet également d’analyser le comportement asymptotique de ces résonances lorsque la perturbation est petite.
Le second modèle que nous étudions est celui d’un champ magnétique engendré par un potentiel axisymétrique dans l’espace entier. Le champ magnétique généré par ce potentiel est invariant par translation. Nous étudions les fonctions de bande associées, en particulier l’influence d’un autre type de seuil : les limites finies des fonctions de bande. Chacune de ces limites concerne une infinité de fonctions de bande et chaque niveau d’énergie au dessus d'un seuil est intersecté par une infinité de fonctions de bande. Nous nous intéressons aux conséquences de cette accumulation. Nous démontrons que les fonctions de bande qui intersectent un niveau d’énergie donné peuvent avoir une dérivée arbitrairement petite et nous appliquons ce résultat pour démontrer qu'il peut exister des particules quantiques soumises à ce champ magnétique, localisées en énergie loin des seuils, mais portant tout de même un courant arbitrairement faible, ce qui contraste avec les études préexistantes sur le sujet.
| Origine | Fichiers produits par l'(les) auteur(s) |
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