Asymptotic methods in ferromagnetism
Méthodes asymptotiques en ferromagnétisme
Résumé
We are interested in problems coming from the ferromagnetism theory and particularly in the asymptotic behaviour of the magnetic moment in
various circumstances. In the first part the Landau-Lifschitz equation that governs the evolution of the magnetic moment is associated to the magnetostatic equations. When the exchange coefficient goes to 0 in the Landau-Lifschitz equation it appears a boundary layer that takes into account the boundary condition. We are interested here in the critical case where the size of the ferromagnetic domain in one or two directions is as small as the thickness of the boundary layer. We then look for the limit models fulfilled by the magnetic moment as well as an asymptotic expansion of the solution. Thanks to a rescaling we are lead back to a fixed domain and we use the WKB method. We then introduce differential operators adapted to the geometry and weighted Sobolev spaces to solve 2D exterior problems, and we estimate the remainder terms thanks to anisotropic Sobolev spaces adapted to the small size of the domains. In the second part we are interested in small perturbations of stable
stationnary solution of the Landau-Lifschitz-Maxwell equations for which the nonlinear, dispersive and diffractive effects happen simultaneously
on a long time scale. We then describe its solutions thanks to an asymptotic expansion where the two time scales make up the main difficulty. We obtain that the main profile splits into several propagating terms that fulfill on the long time scale the Khokhlov-Zabolotskaya equation
that modelizes diffractive effects in gas dynamic. This work is completed by a numerical study that highlights the diffractive effects thanks to numerical schemes running on long times.
Nous nous intéressons à des problèmes issus de la théorie du ferromagnétisme, plus particulièrement au comportement asymptotique du moment magnétique dans diverses situations. Dans la première partie, l'équation de Landau-Lifschitz régissant l'évolution du moment magnétique est couplée aux équations de la magnétostatique. Lorsque le coefficient d'échange tend vers 0 dans l'équation de Landau-Lifschitz, il se forme au bord du domaine une couche limite qui ratttrappe la condition de bord. Nous considérons ici le cas critique où le domaine ferromagnétique est de la même taille que la couche limite, dans une ou deux directions. Nous recherchons dans ce cas les modèles limites vérifiés par le moment magnétique ainsi qu'un développement asymptotique de la solution. Nous utilisons pour cela la méthode BKW et effectuons un changement d'échelle pour nous ramener à un domaine fixe. Nous introduisons alors des opérateurs différentiels adaptés à la géométrie, des espaces de Sobolev à poids pour la résolution de problèmes extérieurs 2D et nous estimons les termes de reste au moyen d'espaces de Sobolev anisotropes adaptés à la petite taille des domaines. Dans la seconde partie, nous nous intéressons à de petites perturbations d'une solution stationnaire stable des équations de Landau-Lifschitz-Maxwell pour lesquelles les effets non-linéaires, dispersifs et diffractifs se produisent simultanément en temps long. Nous étudions alors les solutions au moyen d'un développement asymptotique, la principale difficulté provenant des deux échelles de temps entrant en jeu. Nous obtenons que le profil principal se scinde en plusieurs termes se propageant et vérifiant en temps long l'équation de Khokhlov-Zabolotskaya, qui modélise des effets diffractifs en dynamique des gaz. Cette étude est complétée par une étude numérique mettant en évidence la diffraction au moyen de schémas numériques fonctionnant en temps long.
| Origine | Fichiers produits par l'(les) auteur(s) |
|---|
Loading...