Cette thèse est consacrée à l’étude des problèmes de transport optimal en géométrie sous-Riemannienne. Plus précisément, notre but est d’étendre le caractère bien-posé du problème de Monge aux cas des structures sous-Riemanniennes admettant des géodésiques minimisantes singulières. Dans une première partie, on traite le cas des distributions analytiques de rang 2 en dimension 4. On montre l’existence et l’unicité de solutions pour le coût quadratique sous-Riemannien, tant que la distribution satisfait une certaine condition de croissance. La stratégie de la preuve combine la technique de Figalli-Rifford basée sur la régularité de la distance sous Riemannienne en dehors de la diagonale en absence de géodésiques minimisantes singulières, avec une propriété de contraction de la mesure pour les courbes singulières dans l’esprit d’un résultat de Cavalletti et Huesmann. Dans une deuxième partie, on s’intéresse aux problèmes de régularité de la distance sous- Riemannienne et on définit sur les groupes de Carnot, les structures sous-Riemanniennes h-idéales sur lesquelles la distance sous-Riemannienne est h-semiconcave. Sous une certaine hypothèse de la distribution, on prouve heuristiquement la propriété MCP sur les groupes de Carnot. On prévoit que cette propriété MCP est une condition suffisante pour appliquer la méthode de Cavalletti-Huesmann afin de prouver que le problème de Monge est bien-posé.