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Theses Year : 2017

Combinatorics of singularities of some curves and hypersurfaces

Combinatoire des singularités de certaines courbes et hypersurfaces

Ali Abbas
  • Function : Author
  • PersonId : 777194
  • IdRef : 156896656

Abstract

The thesis is made up of two parts. In the first part we generalize the Abhyankar-Moh theory to a special kind of polynomials, called free polynomials. We take a polynomial $f$ in $\mathbb{K}[[x_1,...,x_e]][y]$ and by a preliminary change of variables we may assume that the leading term of the discriminant of $f$ contains a power of $x_1$. After a monomial transformation we get a quasi-ordinary polynomial with a root in $\mathbb{K}[[x_{1}^{\frac{1}{n}},...,x_{e}^{\frac{1}{n}}]]$ for some $n\in{\mathbb N}$. By taking the preimage of $f$ we get a solution $y\in\mathbb{K}_{C}[[x_{1}^{\frac{1}{n}},...,x_{e}^{\frac{1}{n}}]]$ of $f(x_1,...,x_e,y) = 0$, where $\mathbb{K}_{C}[[x_{1}^{\frac{1}{n}},...,x_{e}^{\frac{1}{n}}]]$ is the ring of formal fractional power series with support in a specific line free cone $C$. Then we construct the set of characteristic exponents of $y$, and we generalize some of the results concerning quasi-ordinary polynomials to $f$. In the second part, we give a procedure to calculate the monoid of degrees of the module $M = F_1 A + \ldots + F_r A$ where $A=\mathbb{K}[f_{1},...,f_{s}]$ and $F_1,\ldots, F_r \in \mathbb{K}[t]$. Then we give some applications to the problem of the classification of plane polynomial curves (that is, plane algebraic curves parametrized by polynomials) with respect to some of their invariants, using the module of K\"ahler differentials.
La th\`ese est constitu\'ee de deux parties. Dans la premi\`ere partie on g\'en\'eralise la Th\'eorie d'Abhyankar-Moh \`a un type special de polyn\^omes, les polyn\^omes libres. Soit $f$ un polyn\^ome non nul de $\mathbb{K}[[x_{1},...,x_{e}]][y]$ et supposons, moyennement un changement des variables \'el\'ementaire, que la composante homog\`ene de plus bas degr\'e du discriminant de $f$ contient une puissance de $x_1$. Une transformation mon\^omiale dans $\mathbb{K}[[x_{1},...,x_{e}]]$ transforme $f$ en un polyn\^ome quasi-ordinaire avec une racine dans $\mathbb{K}[[x_{1}^{\frac{1}{n}},...,x_{e}^{\frac{1}{n}}]]$, $n\in{\mathbb N}$. En prenant la Pr\'eimage de $f$ par le morphisme, nous obtenons une solution $y\in\mathbb{K}_{C}[[x_{1}^{\frac{1}{n}},...,x_{e}^{\frac{1}{n}}]]$ de $f(x_1,...,x_e,y) = 0$, o\`u $\mathbb{K}_{C}[[x_{1}^{\frac{1}{n}},...,x_{e}^{\frac{1}{n}}]]$ est l'anneau des s\'eries fractionnaires dont le support appartient \`a un c\^one convexe $C$. Ceci nous permet de construire l'ensemble des exposants caract\'eristiques de $y$, et de g\'en\'eraliser certains des r\'esultats concernant les polyn\^omes quasi-ordinaire au polyn\^ome $f$. Dans la deuxi\'eme partie, nous donnons un algorithme pour calculer le mono\"ide des degr\'es du module $M = F_1 A + \ldots + F_r A$ o\'u $A={\mathbb K}[f_1(t),\ldots,f_s(t)]$ et $F_1,\ldots, F_r \in \mathbb{K}[t]$. Nous donnons ensuite des applications concernant le probl\'eme de la classification des courbes polyn\^omiales (C'est-\'a-dire, des courbes alg\'ebriques param\'etr\'ees par des polyn\^omes) par rapport \`a certains de leurs invariants, en utilisant le module de diff\'erentielles K\"ahleriennes.
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Dates and versions

tel-01616702 , version 1 (14-10-2017)

Identifiers

  • HAL Id : tel-01616702 , version 1

Cite

Ali Abbas. Combinatorics of singularities of some curves and hypersurfaces. Algebraic Geometry [math.AG]. Université d'Angers, 2017. English. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-01616702⟩
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