Stability and stabilization of linear switched systems in finite and infinite dimensions
Stabilité et stabilisation de systèmes linéaires à commutation en dimensions finie et infinie
Estabilidade e estabilização de sistemas chaveados lineares em dimensões finita e infinita
Résumé
Motivated by previous work on the stabilization of persistently excited systems, this thesis addresses stability and stabilization issues for linear switched systems in finite and infinite dimensions. After a general introduction presenting the main motivations and important results from the literature, we analyze four problems.
The first system we study is a linear finite-dimensional random switched system. The time spend on each subsystem $i$ is chosen according to a probability law depending only on $i$, and the switches between subsystems are determined by a discrete Markov chain. We characterize the Lyapunov exponents by applying Oseledets' Multiplicative Ergodic Theorem to an associated discrete-time system, and provide an expression for the maximal Lyapunov exponent. These results are applied to a switched control system, showing that, under a controllability hypothesis, almost sure stabilization can be achieved with arbitrarily large decay rates, a situation in contrast to deterministic persistently excited systems.
We next consider a system of $N$ transport equations with intermittent internal damping, linearly coupled by their boundary conditions through a matrix $M$, which can be seen as a system of PDEs on a star-shaped network. We prove that, if the activity of the intermittent damping terms is determined by persistently exciting signals, then, under suitable hypotheses on $M$ and on the rationality of the ratios between the lengths of the network edges, such system is exponentially stable, uniformly with respect to the persistently exciting signals. The proof of this result is based on an explicit representation formula for the solutions of the system, which allows one to efficiently track down the effects of the intermittent damping.
The following topic we address is the asymptotic behavior of non-autonomous difference equations. We obtain an explicit representation formula for their solutions in terms of their initial conditions and some time-dependent matrix coefficients, which generalizes the one for the system of $N$ transport equations. The asymptotic behavior of solutions is characterized in terms of the matrix coefficients. In the case of difference equations with arbitrary switching, we obtain a stability result which generalizes Hale--Silkowski criterion for autonomous systems. Using classical transformations of hyperbolic PDEs into difference equations, we apply our results to transport and wave propagation on networks.
Finally, we generalize the previous representation formula to a controlled difference equation, whose controllability is then analyzed. Relative controllability is characterized in terms of an algebraic property on the matrix coefficients from the explicit formula, generalizing Kalman criterion. We also compare the relative controllability for different delays in terms of their rational dependence structure, and provide a bound on the minimal controllability time. Exact and approximate controllability for systems with commensurable delays are characterized and proved to be equivalent. We also describe exact and approximate controllability for two-dimensional systems with two delays not necessarily commensurable.
Motivée par des travaux précédents sur la stabilisation de systèmes à excitation persistante, cette thèse s'intéresse à la stabilité et à la stabilisation de systèmes linéaires à commutation en dimensions finie et infinie. Après une introduction générale présentant les principales motivations et les résultats importants de la littérature, on aborde quatre sujets.
On commence par l'étude d'un système linéaire en dimension finie à commutation aléatoire. Le temps passé en chaque sous-système $i$ est choisi selon une loi de probabilité ne dépendant que de $i$, les commutations entre sous-systèmes étant déterminées par une chaine de Markov discrète. On caractérise les exposants de Lyapunov en appliquant le Théorème ergodique multiplicatif d'Oseledets à un système associé en temps discret, et on donne une expression pour l'exposant de Lyapunov maximal. Ces résultats sont appliqués à un système de contrôle à commutation. Sous une hypothèse de contrôlabilité, on montre que ce système peut être stabilisé presque surement avec taux de convergence arbitraire, ce qui est en contraste avec les systèmes déterministes à excitation persistante.
On considère ensuite un système de $N$ équations de transport avec amortissement interne à excitation persistante, couplées linéairement par le bord à travers une matrice $M$, ce qui peut être vu comme un système d'EDPs sur un réseau étoilé. On montre que, si l'activité de l'amortissement intermittent est déterminée par des signaux à excitation persistante, alors, sous des bonnes hypothèses sur $M$ et sur la rationalité des rapports entre les longueurs des arêtes du réseau, ce système est exponentiellement stable, uniformément par rapport aux signaux à excitation persistante. Ce résultat est montré grâce à une formule explicite pour les solutions du système, qui permet de bien suivre les effets de l'amortissement intermittent.
Le sujet suivant que l'on considère est le comportement asymptotique d'équations aux différences non-autonomes. On obtient une formule explicite pour les solutions en termes des conditions initiales et de certains coefficients matriciels dépendants du temps, qui généralise la formule obtenue pour le système de $N$ équations de transport. Le comportement asymptotique des solutions est caractérisé à travers les coefficients matriciels. Dans le cas d'équations aux différences à commutation arbitraire, on obtient un résultat de stabilité qui généralise le critère de Hale--Silkowski pour les systèmes autonomes. Grâce à des transformations classiques d'EDPs hyperboliques en équations aux différences, on applique ces résultats au transport et à la propagation d'ondes sur des réseaux.
Finalement, la formule explicite précédente est généralisée à une équation aux différences contrôlée, dont la contrôlabilité est alors analysée. La contrôlabilité relative est caractérisée à travers un critère algébrique sur les coefficients matriciels de la formule explicite, ce qui généralise le critère de Kalman. On compare également la contrôlabilité relative pour des retards différents en termes de leur structure de dépendance rationnelle, et on donne une borne sur le temps minimal de contrôlabilité. Pour des systèmes avec retards commensurables, on montre que la contrôlabilité exacte est équivalente à l'approchée et on donne un critère qui les caractérise. On analyse également la contrôlabilité exacte et approchée de systèmes en dimension $2$ avec deux retards sans l'hypothèse de commensurabilité.
Esta tese, motivada por trabalhos anteriores sobre a estabilização de sistemas a excitação persistente, se interessa à estabilidade e à estabilização de sistemas lineares chaveados em dimensões finita e infinita. Após uma introdução geral apresentando as principais motivações e os resultados importantes da literatura, quatro problemas são analisados.
O primeiro sistema estudado é um sistema chaveado aleatório linear em dimensão finita. O tempo passado em cada sub-sistema $i$ é escolhido segundo uma lei de probabilidade dependente apenas de $i$, e as comutações entre os sub-sistemas provêm de uma cadeia de Markov discreta. Os expoentes de Lyapunov do sistema são caracterizados através da aplicação do Teorema Ergódico Multiplicativo de Oseledets a um sistema a tempo discreto associado, obtendo-se igualmente uma expressão para o expoente de Lyapunov máximo. Os resultados são aplicados a um sistema de controle chaveado, mostrando que, sob uma hipótese de controlabilidade, pode-se efetuar estabilização quase certa com taxas de convergência arbitrárias, uma situação em contraste com sistemas a excitação persistente deterministas.
Em seguida, considera-se um sistema de $N$ equações de transporte com amortecimento interno intermitente, acopladas linearmente pela fronteira através de uma matriz $M$. Este sistema pode ser visto como um sistema de EDPs numa rede estrelada. Mostra-se que, se a atividade dos termos de amortecimento intermitentes for determinada por sinais a excitação persistente, então, sob hipóteses adequadas sobre $M$ e sobre a racionalidade das razões entre os comprimentos das arestas da rede, o sistema é exponencialmente estável, uniformemente em relação aos sinais a excitação persistente. A demonstração deste resultado se baseia numa fórmula de representação explícita das soluções do sistema, permitindo analisar claramente os efeitos do amortecimento intermitente.
O tópico seguinte a ser considerado é o comportamento assintótico de equações a diferenças não-autônomas. Obtém-se uma fórmula explícita para suas soluções em função das condições iniciais e de coeficientes matriciais dependentes do tempo, generalizando assim a fórmula explícita obtida para o sistema de $N$ equações de transporte. O comportamento assintótico das soluções é caracterizado através dos coeficientes matriciais. No caso de equações a diferenças com chaveamento arbitrário, obtém-se um resultado de estabilização que generaliza o critério de Hale--Silkowski para sistemas autônomos. Transformações clássicas de EDPs hiperbólicas em equações a diferenças são usadas para se aplicar os resultados obtidos a equações de transporte e à propagação de ondas em redes.
Finalmente, a fórmula explícita anterior é generalizada a uma equação a diferenças controlada, cuja controlabilidade é então analisada. A controlabilidade relativa é caracterizada através de uma propriedade algébrica dos coeficientes matriciais da fórmula explícita, o que generaliza o critério de Kalman. Compara-se também a controlabilidade relativa para atrasos diferentes em termos de suas estruturas de dependência racional, e obtém-se um limite superior ao tempo mínimo de controlabilidade. Para sistemas com atrasos comensuráveis, mostra-se que a controlabilidade exata e a aproximada são equivalente, fornecendo um critério para ambas. Também se descreve a controlabilidade exata e a aproximada de sistemas bidimensionais com dois atrasos não necessariamente comensuráveis.
Mots clés
switched systems
stability
stabilization
persistent excitation
Lyapunov exponents
random switching
transport equation
wave equation
difference equations
controllability
networks