Big Galois image for $p$-adic families of positive slope automorphic forms
Grande image de Galois pour familles $p$-adiques de formes automorphes de pente positive
Résumé
Let $g=1$ or $2$ and $p>3$ be a prime. For the symplectic group $\mathrm{GSp}_{2g}$ the Hecke eigensystems appearing in the spaces of classical automorphic forms, of a fixed tame level and varying weight, are $p$-adically interpolated by a rigid analytic space, the $\mathrm{GSp}_{2g}$-eigenvariety. A sufficiently small subdomain of the eigenvariety can be described as the rigid analytic space associated with a profinite algebra $\mathbb{T}$. An irreducible component of $\mathbb{T}$ is defined by a profinite ring $\mathbb{I}$ and a morphism $\theta\colon\mathbb{T}\to\mathbb{I}$. In the residually irreducible case we can attach to $\theta$ a representation $\rho_\theta\colon\mathrm{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})\to\mathrm{GSp}_{2g}(\mathbb{I})$. We study the image of $\rho_\theta$ when $\theta$ describes a positive slope component of $\mathbb{T}$. In the case $g=1$ this is a joint work with A. Iovita and J. Tilouine. Suppose either that $g=1$ or that $g=2$ and $\theta$ is residually of symmetric cube type. We prove that $\mathrm{Im}\,\rho_\theta$ is ``big'' and that its size is related to the ``accidental congruences'' of $\theta$ with the subfamilies that are obtained as lifts of families for groups of smaller rank. More precisely, we enlarge a subring $\mathbb{I}_0$ of $\mathbb{I}[1/p]$ to a ring $\mathbb{B}$ and we define a Lie subalgebra $\mathfrak{G}$ of $\mathfrak{gsp}_{2g}(\mathbb{B})$ associated with $\mathrm{Im}\,\rho_\theta$. We prove that there exists a non-zero ideal $\mathfrak{l}$ of $\mathbb{I}_0$ such that $\mathfrak{l}\cdot\mathfrak{sp}_{2g}(\mathbb{B})\subset\mathfrak{G}$. For $g=1$ the prime factors of $\mathfrak{l}$ correspond to the CM points of the family $\theta$. Such points do not define congruences between $\theta$ and a CM family, so we call them accidental congruence points. For $g=2$ the prime factors of $\mathfrak{l}$ correspond to accidental congruences of $\theta$ with subfamilies of dimension $0$ or $1$ that are symmetric cube lifts of points or families of the $\mathrm{GL}_2$-eigencurve.
Soit $g=1$ ou $2$ et $p>3$ un nombre premier. Pour le groupe symplectique $\mathrm{GSp}_{2g}$, les sytèmes de valeurs propres de Hecke apparaissant dans les espaces de formes automorphes classiques, d'un niveau modéré fixé et de poids variable, sont interpolés $p$-adiquement par un espace rigide analytique, la variété de Hecke pour $\mathrm{GSp}_{2g}$. Un sous-domaine suffisamment petit de cette variété peut \^etre décrit comme l'espace rigide analytique associé à une algèbre profinie $\mathbb{T}$. Une composante irréductible de $\mathbb{T}$ est définie par un anneau profini $\mathbb{I}$ et un morphisme $\theta\colon\mathbb{T}\to\mathbb{I}$. Dans le cas résiduellement irréductible on peut associer à $\theta$ une représentation $\rho_\theta\colon\mathrm{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})\to\mathrm{GSp}_{2g}(\mathbb{I})$. On étudie l'image de $\rho_\theta$ quand $\theta$ décrit une composante de pente positive de $\mathbb{T}$. Pour $g=1$ il s'agit d'un travail en commun avec A. Iovita et J. Tilouine. On suppose que $g=1$ où que $g=2$ et $\theta$ est résiduellement de type cube symétrique. On montre que $\mathrm{Im}\,\rho_\theta$ est ``grande'' et que sa taille est liée aux ``congruences fortuites'' de $\theta$ avec les transferts de familles pour groupes de rang plus petit. Plus précisement, on agrandit un sous-anneau $\mathbb{I}_0$ de $\mathbb{I}[1/p]$ en un anneau $\mathbb{B}$ et on définit une sous-algèbre de Lie $\mathfrak{G}$ de $\mathfrak{gsp}_{2g}(\mathbb{B})$ associée à $\mathrm{Im}\,\rho_\theta$. On prouve qu'il existe un idéal non-nul $\mathfrak{l}$ de $\mathbb{I}_0$ tel que $\mathfrak{l}\cdot\mathfrak{sp}_{2g}(\mathbb{B})\subset\mathfrak{G}$. Pour $g=1$ les facteurs premiers de $\mathfrak{l}$ correspondent aux points CM de la famille $\theta$. Pour $g=2$ les facteurs premiers de $\mathfrak{l}$ correspondent à des congruences fortuites de $\theta$ avec des sous-familles de dimension $0$ ou $1$, obtenues par des transferts de type cube symétrique de points ou familles de la courbe de Hecke pour $\mathrm{GL}_2$.
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