Differential estimators in digital geometry: application to the digital surface analysis
Estimateurs différentiels en géométrie discrète : applications à l'analyse de surfaces digitales
Résumé
3D image acquisition devices are now ubiquitous in many domains of science, including biomedical imaging, material science, or manufacturing. Most of these devices (MRI, Backscatter X-ray, micro-tomography, confocal microscopy, PET scans) produce a set of data organized on a regular grid, which we call digital data, commonly called pixels in 2D images and voxels in 3D images. Properly processed, these data approach the geometry of imaged shapes, like organs in biomedical imagery or objects in engineering.
In this thesis, we are interested in extracting the geometry of such digital data, and, more precisely, we focus on approaching geometrical differential quantities such as the curvature of these objects. These quantities are the critical ingredients of several applications like surface reconstruction or object recognition, matching or comparison. We focus on the proof of multigrid convergence of these estimators, which in turn guarantees the quality of estimations. More precisely, when the resolution of the acquisition device is increased, our geometric estimates are more accurate. Our method is based on integral invariants and on digital approximation of volumetric integrals.
Finally, we present a surface classification method, which analyzes digital data in a multiscale framework and classifies surface elements into three categories: smooth part, planar part, and singular part (tangent discontinuity). Such feature detection is used in several geometry pipelines, like mesh compression or object recognition. The stability to parameters and the robustness to noise are evaluated with respect to state-of-the-art methods. All our tools for analyzing digital data are applied to 3D X-ray tomography of snow microstructures and their relevance is evaluated and discussed.
Les appareils d'acquisition d'image 3D sont désormais omniprésents dans plusieurs domaines scientifiques comme l'imagerie biomédicale, la science des matériaux ou encore l'industrie. La plupart de ces appareils (IRM, scanners à rayons X, micro-tomographes, microscopes confocaux, TEP scans) produisent un ensemble de données organisées sur une grille régulière que nous nommerons des données digitales, ou plus couramment des pixels sur des images 2D et des voxels sur des images 3D. Lorsqu'elles sont récupérées le plus justement, ces données approchent la géométrie de la forme capturée (comme des organes en imagerie biomédicale ou des objets dans l'ingénierie).
Dans cette thèse, nous nous sommes intéressés à l'extraction de la géométrie sur ces données digitales. Plus précisément, nous nous concentrons à approcher des quantités géométriques différentielles comme la courbure sur ces objets. Ces quantités sont les ingrédients critiques de plusieurs applications comme la reconstruction de surface ou la reconnaissance, la correspondance ou la comparaison d'objets. Nous nous focalisons également sur les preuves de convergence asymptotique de ces estimateurs, garantissant en quelque sorte la qualité de l'estimation. En effet, lorsque la résolution de l'appareil d'acquisition est augmentée, notre estimation géométrique est plus précise. Notre méthode est basée sur les invariants par intégration et sur l'approximation digitale des intégrations volumiques.
Enfin, nous présentons une méthode de classification de la surface, qui analyse les données digitales dans un système à plusieurs échelles et classifie les éléments de surface en trois catégories : les parties lisses, les parties planes, et les parties singulières (discontinuités de la tangente). Ce type de détection de points caractéristiques est utilisé dans plusieurs algorithmes géométriques, comme la compression de maillage ou la reconnaissance d'objet. La stabilité aux paramètres et la robustesse au bruit sont évaluées en fonction des méthodes de la littérature. Tous nos outils pour l'analyse de données digitales sont appliqués à des micro-structures de neige provenant d'un tomographe à rayons X, et leur intérêt est évalué et discuté.