Cohomology with twisted coecients of the geometric realization of linking systems
Cohomologie à coefficients tordus de la réalisation géométrique d'un système de liaison
Résumé
The aim of this work is to study the cohomology with twisted coefficients of the geometric realization of linking systems. More precisely, if $(S,\mathcal{F},\mathcal{L})$ is a $p$-local finite group, we work on the cohomology $H^*(|\mathcal{L}|,M)$ of the geometric realization of $\mathcal{L}$ with coefficients in a $\mathbb{Z}_{(p)}[\pi_1(|\mathcal{L}|)]$-module $M$ and its links with the $\mathcal{F}^c$-stable elements $H^*(\mathcal{F}^c,M)\subseteq H^*(S,M)$ through the inclusion of $BS$ in $\mathcal{L}$.
After we give the definition of $\mathcal{F}^c$-stable elements, we study the endomorphism of $H^*(S,M)$ induced by an $\mathcal{F}^c$-characteristic $(S,S)$-biset and we show that, if the action is nilpotent and we assume an hypothesis, we have a natural isomorphism $H^*(|\mathcal{L}|,M)\cong H^*(\mathcal{F}^c,M)$.
Secondly, we look at $p$-solvable actions of $\pi_1(|\mathcal{L}|)$ on $M$ through the notion of $p$-local subgroups of index a power of $p$ or prime to $p$.
If the action factors through a $p'$-group, we show that there is also a natural isomorphism. We then work on extending this to any $p$-solvable action and we get some positive answers when the $p$-local finite group is realizable. Theses leads to the conjecture that it is true for any $p$-local finite group and any $p$-solvable actions.
We also give some tools to study this conjecture on examples. We look at products of $p$-local finite groups with Kunneth Formula and linking systems which can be decomposed in a way which behaves well with Mayer-Vietoris long exact sequence. Finally, we study essential subgroups of wreath products by $C_p$.
We finish with some examples which illustrate that, in general, we cannot hope an isomorphism between $H^*(|\mathcal{L}|,M)$ and $H^*(\mathcal{F}^c,M)$.
Nous présentons une étude de la cohomologie à coefficients tordus de la réalisation géométrique des systèmes de liaison. Plus précisément, si $(S,\mathcal{F},\mathcal{L})$ est un groupe fini $p$-local, nous travaillons sur la cohomologie $H^*(|\mathcal{L}|,M)$ de la réalisation géométrique de $\mathcal{L}$, avec un $\mathbb{Z}_{(p)}[\pi_1(|\mathcal{L}|)]$-module $M$ en coefficients, et ses liens avec les éléments $\mathcal{F}^c$-stables $H^*(\mathcal{F}^c,M)\subseteq H^*(S,M)$ à travers l'inclusion de $BS$ dans $|\mathcal{L}|$.
Après avoir donné la définition des éléments $\mathcal{F}^c$-stables, nous étudions l'endomorphisme de $H^*(S,M)$ induit par un $(S,S)$-bi-ensemble $\mathcal{F}^c$-caractéristique et nous montrons que, sous certaine hypothèse et si l'action est nilpotent, alors on a un isomorphisme naturel $H^*(|\mathcal{L}|,M)\cong H^*(\mathcal{F}^c,M)$. Ensuite, nous regardons les actions $p$-résolubles à travers la notion de sous-groupe $p$-local d'index premier à $p$ ou une puissance de $p$. Nous montrons que si l'action de $\pi_1(|\mathcal{L}|)$ sur $M$ se factorise par un $p'$-groupe alors on a aussi un isomorphisme naturel.
Pour une action $p$-résoluble plus général, nous obtenons un résultat dans le cas des systèmes réalisables. Ces résultats nous conduisent à la conjecture qu'on a un isomorphisme naturel pour tout groupe fini $p$-local et toute action $p$-résoluble.
Nous donnons quelque outils pour étudier cette conjecture. Nous travaillons sur les produits de groupes finis $p$-locaux avec la formule de Kunneth et
les systèmes de liaison que se décomposent bien vis-à-vis de la suite exacte longue de Mayer-Vietoris. Finalement, nous étudions les sous-groupes essentiels d'un produit couronné par $C_p$.
Nous finissons par des exemples qui soulignent, qu'en général, on ne peut espérer un isomorphisme entre $H^*(|\mathcal{L}|,M)$ et $H^*(\mathcal{F}^c,M)$.
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