Pré-Publication, Document De Travail Année : 2026

Convergence to Stable Laws for Products of Random Matrices

Convergence vers les lois stables pour des produits de matrices aléatoires

Résumé

Under reasonable algebraic assumptions and under an infinite second order moment assumption, we show that the logarithm of the norm (log-norm) of a product of random i.i.d. matrices with entries in $\mathbb{R}$ or in any other local field satisfies a generalized Central Limit Theorem (GCLT) in the sense of Paul Lévi. The proof is based on a weak law of large number for the difference $\Delta_n$ between the log-norm of the product of the first $n$ matrices and the sum of their log-norms. This weak law of large numbers morally says that $\Delta_n$ behaves like a sum of i.i.d. random variables that have a finite moment of order $2q$ as long as the log-norm of each matrices has a finite moment of order q for a given $q \ge 0$. This gain of moment is the central result of the present paper and is based on the construction of pivotal times. Moreover, these results admit a nice higher rank extension when one looks at the full Cartan projection instead of the log-norm.

Sous de hypothèses algébriques raisonnables et une condition de moment d'ordre $2$ infini, on démontre que le logarithme d'un produit de matrices aléatoires indépendantes et de même loi, à coefficients réelles ou dans un corps localement compact, satisfait un théorème central limite généralisé au sens de Lévi. La preuve fait intervenir une loi faible des grands nombres pour la différence $\Delta_n$ entre le log de la norme du produit de $n$ matrices et la somme de leurs log-normes. Cette loi faible des grand nombres diten gros que $\Delta_n$ se comporte comme une somme de variables aléatoires indépendantes dont la loi commune a un moment d'ordre $2q$ fini là où le log-norme de chacune des matrices a un moment d'ordre $q$ fini pour un certain $q > 0$. Ce gain de moment est central dans le résultat du présent article et est obtenu via la construction de temps pivots. De plus, ces résultats admettent une généralisation en rang supérieur dès qu'on regarde la projection de Cartan totale au lieu du log-norme.

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hal-05446421 , version 1 (07-01-2026)

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  • HAL Id : hal-05446421 , version 1

Citer

Axel Péneau. Convergence to Stable Laws for Products of Random Matrices. 2026. ⟨hal-05446421⟩
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