Pythagorean triples, hierarchical classifications, geometric interpretations and hybrid systems
Triplets pythagoriciens, classifications hiérarchiques, interprétations géométriques et systèmes hybrides
Résumé
In this article, we show that the Pythagorean theorem defined on triples of ultrametric matrices, and no longer integers, has applications in clustering (or theory of classifications), in the case of hierarchical classifications (i.e chains of partitions of a partition lattice), which are associated with such matrices. But as the Pythagorean theorem, via these matrices, also applies to surfaces, we show how Pythagorean ultrametric matrices have correspondences in discrete differential geometry. Finally, we suggest some new structures that we call "hybrid simple idempotent semidioids" and "hybrid simple idempotent quasi-semitrioids" which could have applications in economy and social sciences.
Dans cet article, nous montrons que le théorème de Pythagore défini sur des triplets de matrices ultramétriques, et non plus des entiers, a des applications en clustering (ou théorie des classifications), dans le cas de classifications hiérarchiques (i.e. chaînes de partitions d'un treillis de partitions sur un ensemble), qui sont associés à de telles matrices. Mais comme le théorème de Pythagore, via ces matrices, s'applique également aux surfaces, nous montrons comment les matrices ultramétriques de Pythagore ont des correspondances en géométrie différentielle discrète. Enfin, nous proposons de nouvelles structures que nous appelons "semi-dioïdes idempotents simples hybrides" et "quasi-sémitrioïdes idempotents simples hybrides" qui pourraient avoir des applications en économie ou sciences sociales.
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