Convergence of layer potentials and Riemann-Hilbert problem on extension domains
Convergence de potentiels de couches et problème de Riemann-Hilbert sur domaines d'extension
Résumé
We prove the convergence of layer potential operators for the harmonic transmission problem over a sequence of converging two-sided extension domains. Consequently, the Neumann-Poincaré operators, Calderón projectors, and associated Neumann series converge in this setting. As a result, we generalize the notion of Cauchy integrals and, in a sense, of Hilbert transforms for a class of extension domains. Our approach relies on dyadic approximations of arbitrary open sets, considering convergence in terms of characteristic functions, Hausdorff distance, and compact sets.
On montre la convergence des opérateurs potentiels de couches pour le problème de transmission harmonique le long d'une suite convergente de domaines d'extension bilatéraux. Il s'ensuit que les opérateurs Neumann-Poincaré, les projecteurs de Calderón et les séries de Neumann associées convergent dans ce cadre. De là, on généralise les notions d'intégrale de Cauchy et, en un sens, de transformée de Hilbert pour une classe de domaines d'extension. Notre approche repose sur des approximations dyadiques d'ensembles ouverts arbitraires, en considérant une convergence au sens des fonctions caractéristiques, de la distance de Hausdorff, et des ensembles compacts.
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