Combinatorics on Social Configurations
Combinatoires sur les configurations sociales
Résumé
In cooperative game theory, the social configurations of players are modeled by balanced collections. A balanced collection is a set system defined on the set N of players in the game, together with a system of weights such that each player belongs to coalitions whose weights sum to 1. The Bondareva–Shapley theorem, perhaps the most fundamental theorem in cooperative game theory, characterizes the existence of solutions to the game that benefit everyone using balanced collections. Roughly speaking, if the trivial set system {N} is one of the most efficient balanced collections for the game, then the set of solutions from which each coalition benefits, the so-called core, is non-empty.
In the following, we discuss some interactions between combinatorics and cooperative game theory that are still relatively unexplored. First, we study the similarities between balanced collections on the one hand and regular or uniform hypergraphs on the other. Second, we present some results leading to the construction of the combinatorial species of structures of uniform hypergraphs, from which we aim to construct the species of regular hypergraphs by duality. Finally, we investigate the possibility of expressing some “minimality” properties of regular or uniform hypergraphs in the language of combinatorial species, hoping to obtain new properties of minimal balanced collections.
Dans la théorie des jeux coopératifs, les configurations sociales des joueurs sont modélisées par des collections équilibrées. Une collection équilibrée est un système d'ensembles défini sur l'ensemble N des joueurs du jeu, ainsi qu'un système de poids tel que chaque joueur appartient à des coalitions dont la somme des poids est égale à 1. Le théorème de Bondareva-Shapley, peut-être le théorème le plus important de la théorie des jeux coopératifs, caractérise l'existence de solutions au jeu qui profitent à tout le monde en utilisant des collections équilibrées. En quelques mots, si le système d'ensembles triviaux {N} est l'une des collections équilibrées les plus efficaces pour le jeu, alors l'ensemble des solutions dont bénéficie chaque coalition, le cœur, est non vide.
Dans ce qui suit, nous discutons de certaines interactions entre la combinatoire et la théorie des jeux coopératifs qui sont encore relativement inexplorées. Tout d'abord, nous étudions les similitudes entre les collections équilibrées d'une part et les hypergraphes réguliers ou uniformes d'autre part. Ensuite, nous présentons quelques résultats conduisant à la construction des espèces combinatoires de structures d'hypergraphes uniformes, à partir desquelles nous visons à construire les espèces d'hypergraphes réguliers par dualité. Enfin, nous étudions la possibilité d'exprimer certaines propriétés de « minimalité » des hypergraphes réguliers ou uniformes dans le langage des espèces combinatoires, dans l'espoir d'obtenir de nouvelles propriétés de collections minimales équilibrées.
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