The Procesi bundle over the $\Gamma$-fixed points of the Hilbert scheme of points in $\mathbb{C}^2$
Le fibré de Procesi au dessus des $\Gamma$-points fixes du schéma ponctuel de Hilbert dans $\mathbb{C}^2$
Résumé
For $\Gamma$ a finite subgroup of $\mathrm{SL}_2(\mathbb{C})$ and $n \geq 1$, we study the fibers of the Procesi bundle over the $\Gamma$-fixed points of the Hilbert scheme of $n$ points in the plane. For each irreducible component of this fixed point locus, our approach reduces the study of the fibers of the Procesi bundle, as an $(\mathfrak{S}_n \times \Gamma)$-module, to the study of the fibers of the Procesi bundle over an irreducible component of dimension zero in a smaller Hilbert scheme. When $\Gamma$ is of type $A$, our main result shows, as a corollary, that the fiber of the Procesi bundle over the monomial ideal associated with a partition $\lambda$ is induced, as an $(\mathfrak{S}_n \times \Gamma)$-module, from the fiber of the Procesi bundle over the monomial ideal associated with the core of $\lambda$. We give different proofs of this corollary in two edge cases, using only representation theory and symmetric functions.
Pour $\Gamma$ un sous-groupe fini de $\mathrm{SL}_2(\mathbb{C})$ et $n \geq 1$, nous étudions les fibres du fibré de Procesi sur les points $\Gamma$-fixes de le schéma de Hilbert de $n$ points dans le plan. Pour chaque composante irréductible de ce lieu de point fixe, notre approche réduit l'étude des fibres du fibré de Procesi, en tant que $(\mathfrak{S}_n \times \Gamma)$-module, à l'étude des fibres du Processus de regroupement sur une composante irréductible de dimension zéro dans un schéma de Hilbert plus petit. Lorsque $\Gamma$ est de type $A$, notre résultat principal montre, en corollaire, que la fibre du fibré de Procesi sur l'idéal monôme associé à une partition $\lambda$ est induite, comme un $(\mathfrak{ S}_n \times \Gamma)$-module, à partir de la fibre du fibré Procesi sur l'idéal monôme associé au noyau de $\lambda$. Nous donnons différentes preuves de ce corollaire dans deux cas extrêmes, en utilisant uniquement la théorie des représentations et des fonctions symétriques.
Domaines
Géométrie algébrique [math.AG]| Origine | Fichiers produits par l'(les) auteur(s) |
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