On the $H^{m}$-Regularity for Second Order Elliptic Equations - Archive ouverte HAL Accéder directement au contenu
Pré-Publication, Document De Travail Année : 2024

Zur $H^{m}$-Regularität für elliptische Gleichungen zweiter Ordnung

On the $H^{m}$-Regularity for Second Order Elliptic Equations

Sur la $H^{m}$-régularité pour les équations elliptiques du second ordre

Subham De

Résumé

Unser Hauptziel in diesem Artikel ist die Diskussion der $H^{m}$-Regularität für elliptische Gleichungen zweiter Ordnung über Sobolev-Räumen. Wir betrachten hier die Fälle $m=1$ und $m\geq 2$ getrennt. Wir betrachten einige elementare Konzepte der \textit{Funktionsanalyse} und der \textit{Abstrakten Harmonischen Analyse} noch einmal, bevor wir den Begriff der schwachen Lösung eines Dirichlet-Problems richtig definieren.\par Während wir in späteren Phasen verschiedene Arten von Regularitätsbedingungen klassifizieren werden, liegt der Schwerpunkt auf der Ableitung geeigneter Elliptizitätsbedingungen zur Unterstützung von Kommentaren zur Existenz und Einzigartigkeit der schwachen Lösungen für ein gegebenes Problem. Im Abschnitt „Bibliographie“ werden entsprechende Referenzen bereitgestellt, um begeisterten Lesern und Forschern auf diesem Gebiet die weitere Lektüre zu erleichtern.
Our primary objective in this paper is to discuss the $H^{m}$-Regularity for second order elliptic equations over Sobolev Spaces. We here consider the cases $m=1$ and $m\geq 2$ separately. We revisit some elementary concepts in \textit{Functional Analysis} and \textit{Abstract Harmonic Analysis} before providing a proper definiton to the notion of weak solution of a Dirichlet Problem.\par While towards the later stages, we shall classify different types of regularity conditions, the main focus lies upon deducing appropriate ellipticity conditions in support of commenting about the existence and uniqueness of the weak solutions to a given problem. Appropriate references are provided in the bibliography section to facilitate further reading for ardent readers and researchers in this field.
Notre objectif principal dans cet article est de discuter de la régularité $H^{m}$ pour les équations elliptiques du second ordre sur les espaces de Sobolev. Nous considérons ici les cas $m=1$ et $m\geq 2$ séparément. Nous revisitons quelques concepts élémentaires dans \textit{Analyse Fonctionnelle} et \textit{Analyse Harmonique Abstraite} avant de fournir une définition appropriée de la notion de solution faible d'un problème de Dirichlet.\par Alors que dans les étapes ultérieures, nous classifierons différents types de conditions de régularité, l'accent principal consiste à déduire des conditions d'ellipticité appropriées pour étayer les commentaires sur l'existence et l'unicité des solutions faibles à un problème donné. Des références appropriées sont fournies dans la section bibliographie pour faciliter la lecture ultérieure des lecteurs ardents et des chercheurs dans ce domaine.
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Dates et versions

hal-04477849 , version 1 (26-02-2024)
hal-04477849 , version 2 (28-02-2024)
hal-04477849 , version 3 (07-03-2024)

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Citer

Subham De. On the $H^{m}$-Regularity for Second Order Elliptic Equations. 2024. ⟨hal-04477849v3⟩

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