Recognition of arithmetic line segments and hyperplanes using the Stern-Brocot tree
Reconnaissance de segments de droites et d'hyperplans arithmétiques via l'arbre de Stern-Brocot
Résumé
The classic problem of discrete structure recognition is revisited in this article. We focus on naive digital straight segments (DSS) and, more generally, naive arithmetic hyperplanes, and we present a new approach to recognise these discrete structures based on the Stern-Brocot tree. The algorithm for DSS recognition proposes an alternative method to the state of the art, keeping the linear complexity and incremental character. While most of the concepts can be generalised to planes in dimension 3 and hyperplanes in higher dimensions, certain points in the process of descending in the Stern-Brocot tree need to be explored further. The proposed algorithm calculates separating chords characterising the membership of planes to cones generated by the branch of the Stern-Brocot tree. This generalisation shows the close link between arithmetic hyperplanes and the generalised Stern-Brocot tree and opens up interesting perspectives for the recognition of pieces of arithmetic hyperplanes.
Le problème classique de la reconnaissance de structures discrètes est revisité dans cet article. Nous nous intéressons aux segments de droites naïves et plus généralement aux hyperplans arithmétiques naïfs et nous présentons une nouvelle approche de la reconnaissance de ces structures discrètes fondée sur l'arbre de Stern-Brocot. L'algorithme pour les segments de droites en dimension 2 propose une méthode alternative à l'état de l'art, en conservant la complexité linéaire et le caractère incrémental. Si la plupart des concepts se généralisent aux plans en dimension 3 et aux hyperplans en dimension supérieures, certains points dans la gestion de la descente dans l'arbre de Stern-Brocot méritent d'être approfondis. L'algorithme proposé calcule des cordes séparantes caractérisant l'appartenance des plans aux cônes engendrés par la branche de l'arbre de Stern-Brocot.
Cette généralisation montre le lien étroit entre les hyperplans arithmétiques et l'arbre de Stern-Brocot généralisé et ouvre des perspectives intéressantes pour la reconnaissance de morceaux d'hyperplans arithmétiques.
Domaines
Informatique [cs]
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