The Frisch-Parisi conjecture II: Besov spaces in multifractal environment, and a full solution
Résumé
Frisch-Parisi conjecture claims the existence of Baire function spaces in which Baire typical functions share the same multifractal behavior, prescribed in advance, and obey a multifractal formalism. In this paper, we introduce a family B of heterogeneous Besov spaces, which generalize the standard Besov spaces-they are obtained by replacing the Lebesgue measure (which plays a key role in the definition of the standard Besov spaces) by multifractal Radon measures belonging to some class constructed in the companion paper [1]. We find a characterization of the elements of B in terms of wavelet coefficients, and then describe the multifractal properties (singularity spectrum, validity of the multifractal formalism) of their Baire typical functions. This allows us to fully solve the Frisch-Parisi conjecture inside B.
La conjecture de Frisch-Parisi affirme l'existence d'espaces fonctionnels de Baire dans lesquels les fonctions génériques partagent le même comportement multifractal, prescrit à l'avance, et satisfont un formalisme multifractal. Dans cet article, nous introduisons une famille B d'espaces de Besov hétérogènes, qui généralisent les espaces de Besov standard-ils sont obtenus en remplaçant la mesure de Lebesgue (qui joue un rôle clé dans la définition des espaces de Besov standard) par les éléments d'une classe de mesures de Radon multifractales construite dans l'article associé [1]. Nous trouvons une caractérisation des élements de B en termes de coefficients d'ondelettes, puis nous décrivons les propriétés multifractales (spectre de singularité, validité du formalisme multifractal) de leurs fonctions génériques. Ceci nous permet de résoudre complètement la conjecture de Frisch-Parisi dans B.
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