Décomposition PARAFAC pour données longitudinales
Résumé
When faced with tensor data, the PARAFAC decomposition allows an understanding of the structure of the data. When one (or more) of the tensor axes is a continuous quantity (such as time or a spatial quantity) with irregularly sampled data, PARAFAC is not directly applicable. This paper proposes an extension of PARAFAC for data depending on 3 axes : individual × magnitude × time. A set of longitudinal measurements with a variable-and-subject-specific sampling describes each individual. The proposed approach allows a reconstruction of the canonical factors associated with the magnitude axis, the canonical functions associated with the longitudinal axis (time), and the score vector associated with each individual. It is based on (i) the reformulation of the criterion classically optimized in PARAFAC so that it depends only on the covariance functions of the temporal process, (ii) an estimation by aggregation and smoothing of these covariance functions from noisy and irregularly sampled observations, and (iii) a computation of the score vector associated to each individual based on Gaussian modeling of this vector. We validate the approach on simulated data. We show that, in the context of irregular and very parsimonious sampling, it is possible to keep the quality of estimation of the factors and the canonical functions by observing a larger number of individuals.
Face à des données tensorielles, la décomposition PARAFAC permet de comprendre la structure des données. Lorsque l’un (ou plusieurs) des axes du tenseur est une grandeur continue (comme le temps ou une grandeur spatiale) et que les données sont échantillonnées de manière irrégulière, PARAFAC ne s’applique plus directement. Cet article propose une extension de PARAFAC pour des données dépendant de 3 axes individu × grandeur × temps. Chaque individu est ainsi décrit par un ensemble de variables longitudinales avec pour chacune d’elle un échantillonnage qui lui est propre. La démarche proposée permet une reconstruction des facteurs canoniques associés à l’axe grandeur, des fonctions canoniques associées à l’axe longitudinal (temps), et du vecteur de scores associé à chaque individu. Elle est fondée sur (i) la reformulation du critère optimisé classiquement dans PARAFAC pour qu’il ne dépende plus que des fonctions de covariance du processus temporel, (ii) une estimation par agrégation et lissage de ces fonctions de covariance à partir d’observations bruitées et échantillonnées irrégulièrement, et (iii) un calcul du vecteur de scores associé à chaque individu reposant sur une modélisation gaussienne de ce vecteur. La démarche est testée sur des données simulées. Il est montré que dans le contexte d’un échantillonnage irrégulier et très parcimonieux, il est possible de conserver une qualité d’estimation des facteurs et des fonctions canoniques en observant un plus grand nombre d’individus.
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