Estimation de barycentres sur variétés de Stiefel : une approche par projection
Résumé
In this paper, we are interested in the estimation of the barycentre of a set of points on the Stiefel variety. State-of-the-art methods are based on approximations of operations allowing to go locally from the variety to the tangent plane (retraction and inverse retraction) and propose iterative algorithms to obtain the centroid of a sample. We propose the use of a projection in place of the inverse retraction operation and show that the solution of the associated fixed point equation is given by an analytical expression, which simply corresponds to the projected extrinsic mean on Stiefel. A numerical validation shows the robustness of our approach as well as its low computational cost.
Dans cet article, nous nous intéressons à l'estimation du barycentre d'un ensemble de points sur la variété de Stiefel. Les méthodes de la litérature se basent sur des approximations d'opérations permettant de passer localement de la variété au plan tangent (rétraction et rétraction inverse) et proposent des algorithmes itératifs pour obtenir le centroïde d'un échantillon. Nous proposons l'utilisation d'une projection en place de l'opération de rétraction inverse et démontrons que la solution de l'équation de point fixe associée est donnée par une expression analytique, qui correspond simplement à la projection de la moyenne extrinsèque sur Stiefel. Une validation numérique montre la robustesse de notre approche ainsi que son faible coût calculatoire.
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