Numerical analysis of quadratized schemes. Application to the simulation of the nonlinear piano string
Analyse numérique des schémas quadratisés. Application à la simulation de la corde de piano non-linéaire
Résumé
In this report, we present energy quadratization techniques for a Hamiltonian system of nonlinear wave equations formulated at order 2 in time. On a generic system, we present the so-called Invariant Energy Quadratization (IEQ) and Scalar Auxiliary Variable (SAV) methods as well as their energy conservation properties and discretization strategies in space and time. Unlike the iterative techniques commonly used for nonlinear systems to guarantee certain invariances, these two methods lead to algorithms whose complexity is known in advance and rely on the simple inversion of a linear system at each time step. In spite of an unconditional stability and an attractive complexity, the literature mentions problematic application cases with an uncontrolled accuracy.
The numerical properties (stability, consistency and uniform convergence in time with respect to the CFL) of schemes obtained by hybridization between theta scheme and quadratization are studied for two classes of nonlinear terms: a nonlinearity concerning the solution field, and a nonlinearity concerning its gradient.
These results are then applied to a geometrically exact nonlinear piano string for which numerical results are presented. The influence of the discretization parameters is studied and related to the theoretical results. The choices for the best accuracy or computational cost are illustrated. Some parameters can induce the space-time non-convergence of the schemes for a nonlinearity on the gradient, as it is the case for the piano string.
Dans ce rapport, nous présentons en détail des techniques de quadratisation d'énergie pour un système hamiltonien d'équations d'ondes non-linéaires formulé à l'ordre 2 en temps. Sur un système générique, nous présentons les méthodes dites d'Invariant Energy Quadratization (IEQ) et de Scalar Auxiliary Variable (SAV) ainsi que leurs propriétés de conservation d'énergie et des stratégies de discrétisation en espace et en temps. Contrairement aux techniques itératives couramment utilisées pour des systèmes non-linéaires afin de garantir certaines invariances, ces deux méthodes conduisent à des algorithmes de résolution dont la complexité est connue à l'avance, et reposent sur la simple inversion d'un système linéaire à chaque pas de temps. Malgré une stabilité inconditionnelle et une complexité attrayante, la bibliographie mentionne des cas d'application problématiques à la précision non maitrisée.
Les propriétés numériques (stabilité, consistance et convergence en temps uniformément par rapport à la CFL) des schémas obtenus par hybridation entre theta schéma et quadratisation sont étudiées pour deux classes de non-linéarités : une non-linéarité portant sur le champs solution, et une non-linéarité portant sur son gradient.
Ces résultats sont alors appliqués à une corde de piano non-linéaire géométriquement exacte pour laquelle sont présentés des résultats de simulations numériques. L'influence des paramètres de discrétisation est étudiée et mise en relation avec les résultats théoriques. Les choix garantissant la meilleure précision ou coût de calcul sont illustrés. Certains paramètres peuvent notamment induire la non-convergence espace-temps des schémas pour une non-linéarité portant sur le gradient, comme c'est le cas pour la corde de piano.
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