Asymptotic analysis of the characteristic polynomial for the Elliptic Ginibre Ensemble
Analyse asymptotique du polynôme caractéristique pour l'Ensemble de Ginibre Elliptique
Résumé
We consider the Elliptic Ginibre Ensemble, a family of random matrix models interpolating between the Ginibre Ensemble and the Gaussian Unitary Ensemble and such that its empirical spectral measure converges to the uniform measure on an ellipse. We show the convergence in law of its normalised characteristic polynomial outside of this ellipse.
Our proof contains two main steps. We first show the tightness of the normalised characteristic polynomial as a random holomorphic function using the link between the Elliptic Ginibre Ensemble and Hermite polynomials. This part relies on the uniform control of the Hermite kernel which is derived from the recent work of Akemann, Duits and Molag.
In the second step, we identify the limiting object as the exponential of a Gaussian analytic function. The limit expression is derived from the convergence of traces of random matrices, based on an adaptation of techniques that were used to study fluctuations of Wigner and deterministic matrices by Male, Mingo, Péché and Speicher.
This work answers the interpolation problem raised in the work of Bordenave, Chafaï and the second author of this paper for the integrable case of the Elliptic Ginibre Ensemble and is therefore a fist step towards the conjectured universality of this result.
Nous considérons des matrices de l'Ensemble de Ginibre Elliptique interpolant entre l'Ensemble de Ginibre et le Gaussian Unitary Ensemble, dont la mesure spectrale empirique converge vers la mesure uniforme sur une ellipse. Nous montrons la convergence en loi de son polynôme caractéristique normalisé à l'extérieur de cette ellipse. Notre démonstration comporte deux étapes. En utilisant le lien entre l'Ensemble de Ginibre Elliptique et les polynômes d'Hermite, nous montrons d'abord la tension du polynôme caractéristique normalisé en tant que fonction holomorphe aléatoire. Cette partie repose sur le contrôle uniforme du noyau d'Hermite qui fut obtenu dans les travaux récents d'Akemann, Duits et Molag. Dans la seconde partie, nous identifions l'objet limite comme exponentielle d'une fonction analytique Gaussienne. Cette expression est obtenue en étudiant la convergence de traces de matrices aléatoires par des techniques similaires à celles utilisées pour l'étude des fluctuations entre matrices de Wigner et matrices déterministes par Male, Mingo, Péché et Speicher. Ce travail répond à la question de l'interpolation posée dans le travail de Bordenave, Chafaï et le second auteur de cet article dans le cas intégrable de l'Ensemble de Ginibre Elliptique et constitue une première étape vers l'universalité de ce résultat.
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