On the exponential ergodicity of the McKean-Vlasov SDE depending on a polynomial interaction
Ergodicité de limites de champ moyen avec dépendance polynomiale en la mesure
Résumé
In this paper, we study the long time behaviour of the Fokker-Planck and the kinetic Fokker-Planck
equations with many body interaction, more precisely with interaction defined by U-statistics, whose
macroscopic limits are often called McKean-Vlasov and Vlasov-Fokker-Planck equations respectively.
In the continuity of the recent papers [65, 45, 44] and [46, 76, 77], we establish nonlinear functional
inequalities for the limiting McKean-Vlasov SDEs related to our particle systems. In the first order
case, our results rely on large deviations for U-statistics and a uniform logarithmic Sobolev inequality in the number of particles for the invariant measure of the particle system. In the kinetic case, we first prove a uniform (in the number of particles) exponential convergence to equilibrium for the solutions in the weighted Sobolev space H1(μ) with a rate of convergence which is explicitly computable and independent of the number of particles. In a second time, we quantitatively establish an exponential return to equilibrium in Wasserstein’s W2-metric for the Vlasov-Fokker-Planck equation. Some concrete examples are also provided.
Dans cet article, nous étudions le comportement en temps long des équations de Fokker-Planck et cinétiques de Fokker-Planck avec interaction à plusieurs corps, plus précisément avec une interaction définie par des U-statistiques, dont les limites macroscopiques sont souvent appelées respectivement équations de McKean -Vlasov et de Vlasov-Fokker-Planck. Dans la continuité des articles récents [44, 45, 65] et [46, 76, 77], nous établissons des inégalités fonctionnelles non linéaires pour les EDS limites de McKean-Vlasov liées à nos systèmes de particules. Dans le cas du premier ordre, nos résultats reposent sur des grandes déviations pour les U-statistiques et une inégalité de Sobolev logarithmique uniforme en le nombre de particules pour la mesure invariante du système de particules. Dans le cas cinétique, on prouve d’abord une convergence exponentielle vers l’équilibre uniforme (en le nombre de particules) pour les solutions dans l’espace de Sobolev pondéré H1(μ) avec un taux de convergence qui est explicitement calculable et indépendant du nombre de particules. Dans un second temps, nous obtenons des vitesses exponentielles de retour à l’équilibre en W2-métrique de Wasserstein pour l’équation de Vlasov-Fokker-Planck. Ces résultats sont enfin appliqués à des modèles concrets.
Mots clés
U-statistics propagation of chaos polynomial interaction (kinetic) Fokker-Planck equation McKean-Vlasov equation functional inequalities convergence to equilibrium (hypo)coercivity Mathematics Subject Classification. 39B62 82C31 26D10 47D07 60G10 60H10 60J60
U-statistics
propagation of chaos
polynomial interaction
(kinetic) Fokker-Planck equation
McKean-Vlasov equation
functional inequalities
convergence to equilibrium
(hypo)coercivity Mathematics Subject Classification. 39B62
82C31
26D10
47D07
60G10
60H10
60J60
Fichier principal
On_the_Exponential_Ergodicity_of_the_McKean_Vlasov_SDE_AGABOUBACRINEASSADECKMA__19_september_2024_.pdf (577.52 Ko)
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