Localization for random quasi-one-dimensional models
Résumé
In this paper we review results of Anderson localization for different random families of operators which enter in the framework of random quasi-one-dimensional models. We first recall what is Anderson localization from both physical and mathematical point of views. From the Anderson-Bernoulli conjecture in dimension 2 we justify the introduction of quasi-one-dimensional models. Then we present different types of these models : the Schrödinger type in the discrete and continuous cases, the unitary type, the Dirac type and the point-interactions type. In a second part we present tools coming from the study of dynamical systems in dimension one : the transfer matrices formalism, the Lyapunov exponents and the Fürstenberg group. We then prove a criterion of localization for quasi-one-dimensional models of Schrödinger type involving only geometric and algebraic properties of the Fürstenberg group. Then, in the last two sections, we review results of localization, first for Schrödinger type models and then for unitary type models. Each time, we reduce the question of localization to the study of the Fürstenberg group and show how to use more and more refined algebraic criterions to prove the needed properties of this group. All the presented results for quasi-one-dimensional models of Schrödinger type include the case of Bernoulli randomness.
Dans cet article, nous passons en revue des résultats de localisation d'Anderson pour différentes familles d'opérateurs aléatoires qui entrent dans le cadre des modèles aléatoires quasi-unidimensionnels. Nous rappelons d'abord ce qu'est la localisation d'Anderson d'un point de vue physique et mathématique. A partir de la conjecture d'Anderson-Bernoulli en dimension 2, nous justifions l'introduction de modèles quasi-unidimensionnels. Nous présentons ensuite différents types de ces modèles : le type Schrödinger dans les cas discret et continu, le type unitaire, le type Dirac et le type interactions ponctuelles. Dans une deuxième partie, nous présentons des outils issus de l'étude des systèmes dynamiques en dimension un : le formalisme des matrices de transfert, les exposants de Lyapunov et le groupe de Fürstenberg. Nous prouvons ensuite un critère de localisation pour les modèles quasi-unidimensionnels de type Schrödinger impliquant uniquement des propriétés géométriques et algébriques du groupe de Fürstenberg. Enfin, dans les deux dernières sections, nous passons en revue les résultats de localisation, d'abord pour les modèles de type Schrödinger, puis pour les modèles de type unitaire. A chaque fois, nous réduisons la question de la localisation à l'étude du groupe de Fürstenberg et montrons comment utiliser des critères algébriques de plus en plus raffinés pour prouver les propriétés nécessaires de ce groupe. Tous les résultats présentés pour les modèles quasi-unidimensionnels de type Schrödinger incluent le cas de l'aléatoire de Bernoulli.
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