1D approximation of measures in Wasserstein spaces
Résumé
We propose a variational approach to approximate measures with measures uniformly distributed over a 1 dimentional set. The problem consists in minimizing a Wasserstein distance as a data term with a regularization given by the length of the support. As it is challenging to prove existence of solutions to this problem, we propose a relaxed formulation, which always admits a solution. In the sequel we show that if the ambient space is $\mathbb{R}^2$ , under techinical assumptions, any solution to the relaxed problem is a solution to the original one. Finally we manage to prove that any optimal solution to the relaxed problem, and hence also to the original, is Ahlfors regular.
Nous proposons une méthode variationnelle pour approcher une mesure parmi les mesures uniformément distribuées sur un ensemble de dimension 1. Le problème consiste à minimiser la distance de Wasserstein comme terme d'attache aux donnés avec une pénalisation de la longueur du support. Comme montrer l'existence de solutions est délicat, nous proposons un problème relaxé qui admets toujours des solutions. En suite nous montrons que si l'space ambiant est $\mathbb{R}^2$, sous les hypothèses techniques, n'importe quelle solution du problème relaxé est uniformément distribuée, et étant alors une solution du problème originel. Finalement nous montrons que les solutions du problème relaxé, et donc du problème originel, sont Ahlfors régulières.
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