One-dimensional approximation of measures in Wasserstein distance
Résumé
We propose a variational approach to approximate measures with measures uniformly distributed over a 1-dimensional set. The problem consists in minimizing a Wasserstein distance as a data term with a regularization given by the length of the support. As it is challenging to prove existence of solutions to this problem, we propose a relaxed formulation, which always admits a solution. In the sequel we show that, under some assumption on the original measure, any solution to the relaxed problem is solution to the original one. Finally we prove that, whenever the original measure has a density in $L^{\frac{d}{d-1}}(\mathbb{R}^d)$, any optimal solution is supported by an Ahlfors regular set.
Nous proposons une méthode variationnelle pour approcher une mesure parmi les mesures uniformément distribuées sur un ensemble de dimension 1. Le problème consiste à minimiser la distance de Wasserstein comme terme d'attache aux donnés avec une pénalisation de la longueur du support. Puisque l'existence de solutions pour ce problème n'est pas évidente, nous proposons un problème relaxé qui admet toujours des solutions. Ensuite nous montrons que, sous certaines hypothèses sur la mesure originale, toute solution du problème relaxé est une solution du problème original. Enfin, nous montrons que les solutions ont un support Ahlfors-régulier.
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