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Pré-Publication, Document De Travail Année : 2023

PURITY AND TORSORS OVER PRÜFER BASES

La pureté et les torseurs sur les anneaux de Prüfer

Fei Liu
  • Fonction : Auteur
  • PersonId : 1221203

Résumé

We establish the Zariski--Nagata purity theorem concerning finite étale covers on smooth schemes over Prüfer rings by proving Auslander's flatness criterion in this non-Noetherian context. Inspired by Gabber--Ramero's upper bound of projective dimensions over Prüfer bases, we present an Auslander--Buchsbaum formula. On the basis of the analysis of reflexive sheaves, we prove various purity theorems for torsors under reductive group algebraic spaces. Specifically, by parafactorial results in [EGA IV 4] on smooth schemes over normal bases, we prove the purity for cohomology groups of multiplicative type groups at this level of generality. Subsequently, we take advantage of the aforementioned purity results to give an affirmative answer to the Grothendieck-Serre conjecture for torsors on smooth schemes over semilocal Prüfer rings in certain cases. Along the way, inspired by the recent preprint of Česnavičius [Čes22c], we also prove several versions of the Nisnevich conjecture in our context.
Dans cet article, nous établissons la pureté de Zariski--Nagata pour les revêtements étales des schémas lisses sur les anneaux de Prüfer en prouvant le critère de platitude d'Auslander dans ce contexte nonnoethérien. Inspirés par la borne supérieure des dimensions projectives sur les anneaux de valuation, nous presentons une formule d'Auslander--Buchsbaum. A partir de l'analyse des faiseaux réflexives, nous prouvons plusieurs puretés pour les torseurs sous les groupes réductifs. Particulièrement, selon la propriété parafactorielle des schémas lisses sur les schémas normaux, nous prouvons la pureté cohomologique pour les groupes de type multiplicatif dans ce contexte. Ensuite, nous profitons des résultats de pureté mentionnés ci-dessus pour donner une réponse affirmative à la conjecture de Grothendieck--Serre pour les torseurs sur des schémas lisses sur des anneaux de Prüfer semi-locaux dans certains cas. D'ailleurs, inspiré par le préprint de Cesnavicius, nous prouvons également plusieurs versions de la conjecture de Nisnevich dans notre contexte.
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  • HAL Id : hal-03963312 , version 1

Citer

Ning Guo, Fei Liu. PURITY AND TORSORS OVER PRÜFER BASES. 2023. ⟨hal-03963312⟩

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