Mots-clés : l'algorithme des points intérieurs, projection dans des polytopes avec un nombre exponentiel de contraintes 1 Le contexte Soit un programme linéaire (PL) défini par un nombre immense de contraintes A : max y b y : a y ≤ c a , ∀(a, c a) ∈ A = max y b y : y ∈ P ⊂ R m , (1) Comme A est immense, on utilise un algorithme de plans coupants qui ajoute les contraintes une par une. À chaque itération it ≥ 1, cet algorithme construit une approximation extérieure P it ⊃ P ; grâce au sous-problème de séparation, il coupe la solution optimale opt (P it) pour construire une approximation extérieure plus fidèle P it+1 de P. On construit ainsi une séquence d'approximations : P 1 P 2 P 3 • • • P p ⊇ P. L'algorithme s'arrête lorsqu'il devient impossible de séparer opt (P it), ce qui signifie que max b opt (P it) = b opt (P). La méthode des points intérieurs (IPM, en abrégé, pour « Interior point method ») a été publiée en 1984 par N. Karmakar et elle a été un « breakthrough » qui a revitalisé l'étude des PL. Il s'agissait du premier algorithme à la fois théoriquement polynomial et capable de rivaliser en pratique avec l'algorithme du Simplexe. Dans cet étude on va utiliser la famille d'IPM appelle « primal-dual IPM » qui sont parmi les plus efficaces en pratique. Je préfère citer [3] : « By the early 1990s, a subclass of interior-point methods known as primal-dual methods had distinguished themselves as the most efficient practical approaches, and proved to be strong competitors to the simplex method on large problems. ». Il existe déjà plusieurs travaux qui utilisent une IPM pour déterminer la solution optimale opt (P it) à l'itération courante it, voir par exemple les travaux initiés par Jacek Gondzio au milieu des années 1990 [1]. En fait, il n'est même pas obligatoire d'exécuter l'IPM jusqu'à sa fin pour déterminer opt(P it) : l'algorithme plus général de plans coupants peut se « contenter » d'une solution sous-optimale de P it et d'appeler le sous-problème de séparation sur celle ci. L'avantage des « dual-primal IPM » est qu'il est possible d'avoir un contrôle sur une mesure de dualité µ (cf. page suivante) entre une solution primale et une solution duale. Donc il est possible d'arrêter l'IPM lorsque la mesure de dualité est très petite, ce qui signifie que la solution sous-optimale courante n'est pas trop éloigné de opt(P it). De toute façon, si cette solution sous-optimale peut être séparée, l'algorithme de plans coupants peut continuer normalement. Je suis en train d'étudier une approche pour (essayer de) surmonter l'inconvénient suivant : Si on utilise une IPM pour déterminer opt(P it) à l'itération it, les points intérieurs calculés par l'IPM seront intérieurs par rapport à P it , mais pas forcement intérieurs par rapport à P, car P it ⊃ P. C'est dans ce sens que je qualifie (dans le titre) la méthode proposée de « Globally-Interior Point ». Les points intérieurs générés seront intérieurs par rapport à P et pas seulement par rapport à P it. L'outil principal utilisé pour s'assurer que l'IPM exécuté à l'itération it ne sort pas de P est le sous-problème de projection présenté dans [2]. Étant donné un y ∈ P et une direction d ∈ R m , ce sous-problème demande de déterminer la longueur de pas maximale t tel que y+t•d ∈ P. J'ai présenté dans [2] et dans un « follow-up work » plusieurs algorithmes pour résoudre ce sous-problème dans diverses contextes ; le code est déjà fonctionnel et disponible en ligne.