Comportement asymptotique d'un Modèle de propagation de front : Cas d'un problème à frontière libre en une dimension - Archive ouverte HAL
Communication Dans Un Congrès Année : 2022

Asymptotic Behavior of a Front Propagation Model: Case of a One-Dimensional Free Boundary Problem

Comportement asymptotique d'un Modèle de propagation de front : Cas d'un problème à frontière libre en une dimension

Résumé

We consider a physical model of straight flame front propagation in a homogeneous solid medium in one dimension governed by a free boundary problem:\ \begin{align*} \left \{\begin{array}{lll} u_t-du_{xx}&=0 &\mbox{ in } x<\xi(t),\;t>0\\ du_x&=r &\mbox{ on } x=\xi(t)\\ \xi_t&=r &\mbox{ for }\;t>0.\\ \end{array} \right. \end{align*} The position of the flame front at time $t$ is $\xi(t)$ and $u(t,x)$ is the temperature at time $t$ in the domain bounded by the front. We are particularly interested in the evolution over time of the pair $(\xi, u)$. We define a notion of \textit{wave solution} where \textit{stationary wave solution}, the couple $(c,u)$ with $c>0$ a constant speed of propagation of the front and $u=u( x)$ a stationary temperature. We then show that the solution of our problem converges to a \textit{wave solution} when $t\to \infty$. Finally, the theoretical results are confirmed by various numerical tests.
Nous consid\'erons un mod\`ele physique de propagation de front de flamme droit dans un milieu solide et homogène en une dimension gouvern\'e par un probl\`eme \`a fronti\`ere libre:%\\\\ \begin{align*} \left \{\begin{array}{lll} u_t-du_{xx}&=0 &\mbox{ dans } x<\xi(t),\;t>0\\ du_x&=r &\mbox{ sur } x=\xi(t)\\ \xi_t&=r &\mbox{ pour }\;t>0.\\ \end{array} \right. \end{align*}%\\\\ La position du front de flamme à l'instant $t$ est $\xi(t)$ et $u(t,x)$ est la temperature à l'instant $t$ dans le domaine délimité par le front. On s'int\`eresse particulièrement à l'évolution dans le temps du couple $(\xi, u)$. Nous définissons une notion de \textit{solution onde} où \textit{solution à etat onde stationnaire}, le couple $(c,u)$ avec $c>0$ une vitesse constante de propagation du front et $u=u(x)$ une temperature stationnaire. Nous montrons ensuite que la solution de notre problème converge vers une \textit{solution onde} quand $t\to \infty$. Enfin, les résultats théoriques sont confirmés par différents tests numériques.
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Dates et versions

hal-03918284 , version 1 (02-01-2023)
hal-03918284 , version 2 (22-08-2023)

Identifiants

  • HAL Id : hal-03918284 , version 1

Citer

Mohamed Karimou Gazibo. Comportement asymptotique d'un Modèle de propagation de front : Cas d'un problème à frontière libre en une dimension. CIST-UNZ, Nov 2022, KOUDOUGOU, Burkina Faso. ⟨hal-03918284v1⟩
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