Asymptotic Behavior of a Front Propagation Model: Case of a One-Dimensional Free Boundary Problem
Comportement asymptotique d'un Modèle de propagation de front : Cas d'un problème à frontière libre en une dimension
Résumé
We consider a physical model of straight flame front propagation in a homogeneous solid medium in one dimension governed by a free boundary problem:\
\begin{align*}
\left \{\begin{array}{lll}
u_t-du_{xx}&=0 &\mbox{ in } x<\xi(t),\;t>0\\
du_x&=r &\mbox{ on } x=\xi(t)\\
\xi_t&=r &\mbox{ for }\;t>0.\\
\end{array} \right.
\end{align*}
The position of the flame front at time $t$ is $\xi(t)$ and $u(t,x)$ is the temperature at time $t$ in the domain bounded by the front.
We are particularly interested in the evolution over time of the pair $(\xi, u)$.
We define a notion of \textit{wave solution} where \textit{stationary wave solution}, the couple $(c,u)$ with $c>0$ a constant speed of propagation of the front and $u=u( x)$ a stationary temperature. We then show that the solution of our problem converges to a \textit{wave solution} when $t\to \infty$. Finally, the theoretical results are confirmed by various numerical tests.
Nous consid\'erons un mod\`ele physique de propagation de front de flamme droit dans un milieu solide et homogène en une dimension gouvern\'e par un probl\`eme \`a fronti\`ere libre:%\\\\
\begin{align*}
\left \{\begin{array}{lll}
u_t-du_{xx}&=0 &\mbox{ dans } x<\xi(t),\;t>0\\
du_x&=r &\mbox{ sur } x=\xi(t)\\
\xi_t&=r &\mbox{ pour }\;t>0.\\
\end{array} \right.
\end{align*}%\\\\
La position du front de flamme à l'instant $t$ est $\xi(t)$ et $u(t,x)$ est la temperature à l'instant $t$ dans le domaine délimité par le front.
On s'int\`eresse particulièrement à l'évolution dans le temps du couple $(\xi, u)$.
Nous définissons une notion de \textit{solution onde} où \textit{solution à etat onde stationnaire}, le couple $(c,u)$ avec $c>0$ une vitesse constante de propagation du front et $u=u(x)$ une temperature stationnaire. Nous montrons ensuite que la solution de notre problème converge vers une \textit{solution onde} quand $t\to \infty$. Enfin, les résultats théoriques sont confirmés par différents tests numériques.
Mots clés
Mathematics Subject Classification (2010). Primary 35R35
Secondary 35K05 35C07 Problème à frontière libre Equation de la chaleur Solution onde Transformée de Laplace Comportement asymptotique
Secondary 35K05
35C07 Problème à frontière libre
Equation de la chaleur
Solution onde
Transformée de Laplace
Comportement asymptotique
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