Path-dependent McKean-Vlasov equation: strong well-posedness, propagation of chaos and convergence of an interpolated Euler scheme
Équation de McKean-Vlasov dépendant de la trajectoire: existence et unicité forte, propagation du chaos et convergence d'un schéma d'Euler interpolé
Résumé
We consider the path-dependent McKean-Vlasov equation, in which both the drift and the diffusion coefficients are allowed to depend on the whole trajectory of the process up to the current time t, and depend on the corresponding marginal distributions. We prove the strong well-posedness of the equation in the L^p setting, p ≥ 2, locally in time, as well as the propagation of chaos properties. Then, we introduce an interpolated Euler scheme, a key object to simulate numerically the process, and we prove the convergence, with an explicit rate, of this scheme towards the strong solution in the L^p norm. As applications we give results for two mean-field equations arising in biology and neuroscience.
On étudie l'équation de McKean-Vlasov avec dépendance en la trajectoire, dans laquelle les coefficients de dérive et de diffusion peuvent dépendre de toute la trajectoire du processus jusqu'au temps courant t, et de toutes les distributions marginales correspondantes. On prouve l'existence et l'unicité forte dans un cadre L^p, p ≥ 2, localement en temps, et la propagation du chaos pour un système de particules associé. Nous introduisons ensuite un schéma d'Euler interpolé, un objet important pour la simulation numérique du processus, et nous prouvons la convergence de ce schéma vers la solution forte en norme L^p. Notre résultat est quantitatif et fournit un taux de convergence explicite. Nous appliquons nos résultats à deux équations de champ moyen issues de la biologie et des neurosciences.
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