Sp(1)-Symmetry Hyper-Kähler Quantisation
Quantification hyperkählérienne Sp(1)-symétrique
Résumé
We provide a new general scheme for the geometric quantisation of Sp(1)-symmetric hyper-Kähler manifolds, considering Hilbert spaces of holomorphic sections with respect to the complex structures in the hyper-Kähler 2-sphere. Under properness of an associated moment map, or other finiteness assumptions, we construct unitary quantum (super) representations of central extensions of certain subgroups of Riemannian isometries preserving the 2-sphere, and we study their decomposition in irreducible components. We apply this quantisation scheme to hyper-Kähler vector spaces, the Taub-NUT metric on R^4 , moduli spaces of framed SU(r)-instantons on R^4 , and partly to the Atiyah-Hitchin manifold of magnetic monopoles in R^3.
Nous proposons un nouveau schéma général pour la quantification géométrique des variétés hyperkähleriénnes Sp(1)-symétriques, en considérant les espaces de Hilbert des sections holomorphes par rapport aux structures complexes de la 2-sphère hyperkähleriénne. Si une certaine application moment est propre, ou avec d’autres hypothèses de finitude, nous construisons des (super) représentations quantiques unitaires de groupes agissant par isométries riemanniennes préservant la 2-sphère, et nous étudions leur décomposition en composantes irréductibles. Nous appliquons ce schéma de quantification aux espaces vectoriels hyperkähleriens, à la métrique de Taub-NUT sur R^4 , aux espaces de modules de SU(r)-instantons sur R^4, et en partie à la variété d’Atiyah-Hitchin des monopôles magnétiques dans R^3.
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