Deformations of Branched Projective Structures on Riemann Surfaces
Déformations des structures projectives branchées sur les surfaces de Riemann
Résumé
We introduce the notion of branching class of a branched complex projective structure on a Riemann surface. This appears naturally when generalizing to the branched case the notion of bundle of projective frames of order 2 of a Riemann surface. We show that the space of branching classes with fixed degree on a given closed surface of genus g is a complex manifold. We show that the space of branched projective structures of degree smaller than 2g−2 or greater than 4g−4 is a complex manifold. In the first case, it is an affine bundle over the space of branching classes. In the second case, it is a submanifold of the space of branching classes.
Nous introduisons la notion de classe de branchement d'une structure projective complexe branchée sur une surface de Riemann. Celle-ci apparaît naturellement lorsqu'on généralise au cas branché la notion de fibré des 2-repères projectifs d'une surface de Riemann. Nous montrons que l'espace des classes de branchement de degré fixé sur une surface compacte de genre g donnée est une variété complexe. Nous montrons que l'espace des structures projectives branchées de degré fixé strictement inférieur à 2g − 2 ou strictement supérieur à 4g − 4 est une variété complexe lisse, qui fibre au-dessus de l'espace des classes de branchement dans le premier cas, qui se plonge dedans dans le second cas.
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