Time-Asymptotic Study of a Viscous Axisymmetric Fluid without Swirl
Étude asymptotique en temps d'un fluide visqueux axisymétrique sans swirl
Résumé
We study the long-time behaviour of axisymmetric solutions without swirl for the threedimensional Navier-Stokes equations in the whole space. Assuming that the initial vorticity is sufficiently localised, we compute explicitly the leading terms in the asymptotic expansion of the solution, both for the vorticity and the velocity field. In particular, we identify optimal temporal decay rates depending on the spatial localisation of the initial data. Our approach relies on accurate L^p-L^q estimates for the linearised evolution equation and its Taylor expansion in self-similar variables.
On étudie le comportement en temps long des solutions axisymétriques sans swirl des équations de Navier-Stokes tridimensionnelles dans tout l'espace. En supposant le tourbillon initial suffisamment localisé, sont calculés explicitement les principaux termes des développements asymptotiques du tourbillon et du champ de vitesse. En particulier, des taux de décroissances temporelles optimaux sont donnés en fonction de la localisation de la donnée initiale dans l'espace. L'approche proposée s'appuie sur des majorations L^p-L^q précises de la solution de l'équation linéarisée ainsi que de son développement de Taylor en variables auto-similaires.
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