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Pré-Publication, Document De Travail Année : 2021

Systole and small eigenvalues of hyperbolic surfaces

Systole et petites valeurs propres des surfaces hyperboliques

Pierre Jammes

Résumé

Let $S$ be a closed orientable hyperbolic surface with Euler characteristic $\chi$, and let $\lambda_k(S)$ be the $k$-th positive eigenvalue for the Laplacian on $S$. According to famous result of Otal and Rosas, $\lambda_{-\chi}>\frac14$. In this article, we prove that if the systole of $S$ is greater than 3,46, then $\lambda_{-\chi-1}>\frac14$. This inequality is also true for geometrically finite orientable hyperbolic surfaces without cusps with the same assumption on the systole.
Soit $S$ une surface hyperbolique orientable compacte de caractéristique d'Euler $\chi$, et $\lambda_k(S)$ la $k$-ième valeur propre non nulle du laplacien sur $S$. Selon un célèbre résultat d'Otal et Rosas, $\lambda_{-\chi}>\frac14$. Dans cet article, nous montrons que si la systole de $S$ est supérieure à 3,46, alors $\lambda_{-\chi-1}>\frac14$. Cette inégalité est vraie aussi pour les surfaces hyperbolique géométriquement finies sans pointe avec la même hypothèse sur la systole.
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hal-03431800 , version 1 (16-11-2021)

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Pierre Jammes. Systole et petites valeurs propres des surfaces hyperboliques. 2021. ⟨hal-03431800⟩
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