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Reports (Research Report) Year : 2021

Recycling Krylov subspace strategies for sequences of sampled stochastic elliptic equations

Stratégies de recyclage de sous-espaces de Krylov pour des suites d'équations elliptiques stochastiques échantillonnées

Abstract

We are interested in the quantification of uncertainties in discretized elliptic partial differential equations with a random coefficient field. In sampling-based approaches, this relies on solving large numbers of symmetric positive definite (SPD) linear systems with different matrices. In particular, we consider the case in which these operators are sampled by Markov chain Monte Carlo, which leads to sequences of correlated matrices. We investigate recycling Krylov subspace strategies for the iterative solution of sequences of linear systems formed with such matrices. The linear systems are solved using initialized conjugate gradient (Init-CG) methods, where approximate eigenvectors of the previously sampled operator are used to set an initial guess, and deflated conjugate gradient (Def-CG) methods, where the Krylov subspace is augmented with these vectors. The following aspects of eigenvector approximation, and their effect on deflation and initialization, are investigated in this context: (i) projection technique, and (ii) refreshing strategy of the eigen-search space. Our numerical experiments show that, when not using a preconditioner, these aspects only impact convergence behaviors of Def-CG at the early stages of the sampling sequence. Second, unlike sequences with multiple right-hand sides and a constant operator, our experiments with multiple matrices show that, even for highly correlated matrices, Init-CG does not reproduce the convergence behavior of Def-CG. Finally, the limits of deflation used as a means to compensate for the inefficiency of block-Jacobi (bJ) preconditioners are investigated. For small systems, using a bJ preconditioner while deflating with at least as many approximate eigenvectors as the number of bJ blocks achieves similar convergence behaviors to PCG with a constant algebraic multigrid (AMG) preconditioner. For larger systems, although the effect of deflation is improved when using the right refreshing strategy of the eigen-search space, the combination of deflation with bJ preconditioners does not scale as well as using PCG with a constant AMG preconditioner based on the median realization of the coefficient field.
Nous nous intéressons à la quantification des incertitudes dans les équations aux dérivées partielles elliptiques discrétisées avec un champ de coefficients aléatoires. Dans les approches basées sur l'échantillonnage, celle-ci repose sur la résolution d'un grand nombre de systèmes linéaires symétriques définis positifs (SPD) avec des matrices différentes. En particulier, nous considérons le cas où ces opérateurs sont échantillonnés par une méthode de Monte Carlo par chaînes de Markov, ce qui produit des suites de matrices corrélées. Nous étudions des stratégies de recyclage de sous-espaces de Krylov pour la résolution itérative de suites de systèmes linéaires provenant de telles matrices. Les systèmes linéaires sont résolus en utilisant des méthodes de gradient conjugué initialisé (Init-CG), où les vecteurs propres approximatifs de l'opérateur précédemment échantillonné sont utilisés pour définir une estimation initiale, et des méthodes de gradient conjugué déflaté (Def-CG), où le sous-espace de Krylov est augmenté de ces vecteurs propres. Les aspects suivants de l'approximation des vecteurs propres, et leur effet sur la déflation et l'initialisation, sont étudiés dans ce contexte : (i) la technique de projection, et (ii) la stratégie de rafraîchissement de l'espace de recherche des vecteurs propres. Nos expériences numériques montrent que, lorsqu'on n'utilise pas de préconditionneur, ces aspects n'ont un impact sur les comportements de convergence de Def-CG qu'au début de la suite d'échantillonnage. Deuxièmement, contrairement aux séquences avec des second-membres multiples et un opérateur constant, nos expériences avec des matrices multiples montrent que, même pour des matrices fortement corrélées, Init-CG ne reproduit pas le comportement de convergence de Def-CG. Enfin, nous étudions les limites de la déflation utilisée comme moyen de compenser l'inefficacité des préconditionneurs bloc-Jacobi (bJ). Pour les petits systèmes, l'utilisation d'un préconditionneur bJ tout en déflatant avec au moins autant de vecteurs propres approximatifs que le nombre de blocs bJ permet d'obtenir des comportements de convergence similaires à ceux de PCG avec un préconditionneur multigrille algébrique (AMG) constant. Pour les systèmes plus grands, bien que l'effet de la déflation soit amélioré en utilisant la bonne stratégie de rafraîchissement de l'espace de recherche des vecteurs propres, la combinaison de la déflation avec les préconditionneurs bJ ne s'adapte pas aussi bien que l'utilisation du PCG avec un préconditionneur AMG constant basé sur la réalisation médiane du champ de coefficients.
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Dates and versions

hal-03366966 , version 1 (04-11-2021)

Identifiers

  • HAL Id : hal-03366966 , version 1

Cite

Nicolas Venkovic, Paul Mycek, Luc Giraud, Olivier Le Maitre. Recycling Krylov subspace strategies for sequences of sampled stochastic elliptic equations. [Research Report] RR-9425, Inria Bordeaux - Sud Ouest. 2021. ⟨hal-03366966⟩
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