An extension of a result of Erdös and Zaremba - Archive ouverte HAL Accéder directement au contenu
Article Dans Une Revue Glasgow Mathematical Journal Année : 2021

An extension of a result of Erdös and Zaremba

Michel Weber

Résumé

Erdös and Zaremba showed that $ \limsup_{n\to \infty} \frac{\Phi(n)}{(\log\log n)^2}=e^\gamma$ , γ being Euler’s constant, where $\Phi(n)=\sum_{d|n} \frac{\log d}{d}$ . We extend this result to the function $\Psi(n)= \sum_{d|n} \frac{(\log d )(\log\log d)}{d}$ and some other functions. We show that $ \limsup_{n\to \infty}\, \frac{\Psi(n)}{(\log\log n)^2(\log\log\log n)}\,=\, e^\gamma$ . The proof requires a new approach. As an application, we prove that for any $\eta>1$ , any finite sequence of reals $\{c_k, k\in K\}$ , $\sum_{k,\ell\in K} c_kc_\ell \, \frac{\gcd(k,\ell)^{2}}{k\ell} \le C(\eta) \sum_{\nu\in K} c_\nu^2(\log\log\log \nu)^\eta \Psi(\nu)$ , where C ( η ) depends on η only. This improves a recent result obtained by the author.
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Dates et versions

hal-03354995 , version 1 (27-09-2021)

Identifiants

Citer

Michel Weber. An extension of a result of Erdös and Zaremba. Glasgow Mathematical Journal, 2021, 63 (1), pp.193-222. ⟨10.1017/S0017089520000129⟩. ⟨hal-03354995⟩

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