Dans cet article nous étudions la contrôlabilité à zéro d'une classe de systèmes paraboliques linéaires abstraits dans des produits tensoriels. Cette structure particulière nous permet de réduire la question de la contrôlabilité à un ensemble particulier d'équations qui ressemble à un problème de moments, mais qui ne relève pas des résultats existants de la littérature. Nous transformons ce problème de moments non standard en une famille infinie de problèmes de moments usuels, mais couplés entre eux. Cette reformulation est choisie avec soin pour que le nouveau système obtenu puisse être résolu, avec des bonnes estimations des solutions, en utilisant la méthode des moments par blocs développée récemment. Tout ce travail est basé sur une analyse spectrale minutieuse de l'opérateur sous-jacent. Nous appliquons notamment ce résultat abstrait pour montrer que la position du domaine de contrôle pour un problème de contrôle au bord de deux équations de la chaleur couplées peut être déterminante: nous donnons un exemple explicite d'un tel système posé sur un domaine rectangulaire en 2D qui est contrôlable à zéro en tout temps si le contrôle agit sur deux bords perpendiculaires du domaine mais qui n'est jamais contrôlable à zéro si le contrôle n'agit que sur un seul des bords du domaine.