On the homogeneous ergodic bilinear averages with 1-bounded multiplicative weights
SUR LES MOYENNES BILINÉAIRES ERGODIQUES HOMOGÈNES AVEC DES POIDS MULTIPLICATIFS BORNÉS
Résumé
We establish a generalization of Bourgain double recurrence theorem and ergodic Bourgain-Sarnak's theorem by proving that for any aperiodic 1-bounded multiplicative function $\boldsymbol{\nu}$, for any map T acting on a probability space $(X,\mathcal{A}, \mu)$, for any integers a, b, for any f, g ∈ L^2 (X), and for almost all x ∈ X, we have \[ 1/N \sum_{ n=1}^{N} \boldsymbol{\nu}(n)f (T^{an} x)g(T^{ bn} x) − −−−−−>0 as N− −−−−−> +∞ .\] We further present with proof the key ingredients of Bourgain's proof of his double recurrence theorem.
On établit une généralisation du théorème de double récurrence de Bourgain et du théorème ergodique de Bourgain-Sarnak's en montrant que pour toute fonction multiplicative apériodique et bornée $\boldsymbol{\nu}$ pour toute transformation $T$ qui préserve la mesure d'un espace probabilisé ( $(X,\mathcal{A}, \mu)$, pour tout entiers a, b, pour tout f, g ∈ L^2 (X), and pour presque tout x ∈ X, on a \[1/N \sum_{n=1}^{N} \boldsymbol{\nu(n) f (T^{an} x)g(T^{bn} x) − −−−−> 0, quand N − −−−−>+∞. \]On présente aussi les ingrédients clefs de la preuve de Bourgain de son théorème de double récurrence et leurs preuves.
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