Extracting subsets maximizing capacity and folding of random walks
Sous-ensembles de capacité maximale et marches aléatoires
Résumé
We prove that given any finite set of $\Z^d$, with $d\ge 3$,
there is a subset whose capacity and volume are both
of the same order as the capacity of the initial set.
As an application, we obtain estimates on the probability
a transient random walk {\it covers uniformly} a finite set.
Finally, we characterize some {\it folding} events,
under optimal hypotheses.
For instance, knowing that a random walk folds to produce
an {\it atypically high occupation density} somewhere,
we show that the {\it folding region} is most likely ball-like,
asymptotically as the length of the walk goes to infinity.
Nous montrons que de toute partie finie de $\Z^d$, en dimension
trois et plus, on peut extraire un sous-ensemble dont la capacité
et le volume sont du même ordre de grandeur
que la capacité de la partie initiale.
Cette observation nous permet d'obtenir, sous des hypothèses
optimales, des estimations de la probabilité qu'une marche aléatoire
{\it recouvre uniformément} un ensemble fini. Enfin, nous
caractérisons certains évènements de repliement de la marche.
Par exemple, lorsque l'on sait qu'une marche aléatoire se replie
pour produire une densité d'occupation atypiquement grande, alors
la région de repliement a typiquement la forme d'une boule,
au sens où sa capacité est du même ordre de grandeur que celle d'une boule.
Domaines
Probabilités [math.PR]| Origine | Fichiers produits par l'(les) auteur(s) |
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