The relation between $k$-circularity and circularity of codes
La relation entre codes k-circulaires et codes circulaires
Résumé
A code $X$ is $k$-circular if any concatenation of at most $k$ words from $X$, when read on a circle, admits exactly one partition into words from $X$. It is circular if it is $k$-circular for every integer $k$. While it is not a priori clear from the definition, there exists, for every pair ($n$,ℓ), an integer $k$ such that every $k$-circular ℓ-letter code over an alphabet of cardinality n is circular, and we determine the least such integer $k$ for all values of $n$ and ℓ. The $k$-circular codes may represent an important evolutionary step between the circular codes, such as the comma-free codes, and the genetic code.
Un code $X$ est $k$-circulaire si toute concaténation d'au plus $k$ mots de $X$, lue de façon circulaire, admet une et une seule partition en mots appartenant à $X$. Il est circulaire s'il est $k$-circulaire pour tout entier $k$. Bien que ce ne soit pas a priori clair à partir de la définition, il existe, pour toute paire ($n$,ℓ), un entier $k$ tel que tout code $k$-circulaire de mots à ℓ lettres sur un alphabet de taille $n$ est circulaire, et nous déterminons la plus petite valeur d'un tel entier $k$ pour toutes les paires ($n$,ℓ). Les codes $k$-circulaires représentent peut-être une importante étape d'évolution entre les codes circulaires, comme les codes comma-free, et le code génétique.
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