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Paramétrisation du problème 3x+1 sur la droite réelle : diagramme de phase, renormalisation et intervalles errants

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Abstract

The 3x + 1 problem, defined on the positive integers, deals with the iterations of the function T(x) = (3x + 1)/2 if x is odd and T(x) = x/2 otherwise. An analytical extension on real numbers has been studied by Chamberland, and later by the authors. We generalize this study on a class of real functions that depend on four parameters, so as to encompass many variants of the 3x + 1 problem. Following a heuristic approach, we obtain a two-dimensional "phase diagram'' characterizing the average asymptotic dynamics (i.e., for almost every real number close to ±∞). In a large part of the parameter space, we establish the average growth rate of real trajectories close to infinity, under a condition of uniform distribution modulo 2. Finally, we describe the intrinsic and extrinsic dynamics close to integers using a renormalization method. This leads us to distinguish four types of wandering intervals.
Le problème 3x + 1, défini sur les entiers positifs, concerne les itérations de la fonction T(x) = (3x + 1)/2 si x est impair et T(x) = x/2 sinon. Un prolongement analytique sur les réels a été étudié par Marc Chamberland, puis par les auteurs. Nous généralisons cette étude à une classe de fonctions réelles dépendant de quatre paramètres, de manière à englober de nombreuses variantes du problème 3x + 1. A l'aide d'une approche heuristique, nous obtenons un "diagramme de phase" en deux dimensions permettant de caractériser la dynamique asymptotique moyenne, i.e., pour presque tout réel au voisinage de ±∞. Dans une large partie de l'espace des paramètres, nous établissons le taux moyen de croissance des trajectoires réelles proches de l'infini, sous une condition de distribution uniforme modulo 2. Puis nous décrivons la dynamique intrinsèque et extrinsèque au voisinage des entiers au moyen d'une méthode de renormalisation. Cela nous conduit à distinguer quatre types d'intervalles errants.
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Dates and versions

hal-02412727 , version 1 (15-12-2019)
hal-02412727 , version 2 (02-01-2020)

Licence

Attribution - CC BY 4.0

Identifiers

  • HAL Id : hal-02412727 , version 2

Cite

Nik Lygeros, Olivier Rozier. Paramétrisation du problème 3x+1 sur la droite réelle : diagramme de phase, renormalisation et intervalles errants. 2020. ⟨hal-02412727v2⟩
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