Le problème 3x + 1, défini sur les entiers positifs, concerne les itérations de la fonction T(x) = (3x + 1)/2 si x est impair et T(x) = x/2 sinon. Un prolongement analytique sur les réels a été étudié par Marc Chamberland, puis par les auteurs. Nous généralisons cette étude à une classe de fonctions réelles dépendant de quatre paramètres, de manière à englober de nombreuses variantes du problème 3x + 1. A l'aide d'une approche heuristique, nous obtenons un "diagramme de phase" en deux dimensions permettant de caractériser la dynamique asymptotique moyenne, i.e., pour presque tout réel au voisinage de ±∞. Dans une large partie de l'espace des paramètres, nous établissons le taux moyen de croissance des trajectoires réelles proches de l'infini, sous une condition de distribution uniforme modulo 2. Puis nous décrivons la dynamique intrinsèque et extrinsèque au voisinage des entiers au moyen d'une méthode de renormalisation. Cela nous conduit à distinguer quatre types d'intervalles errants.