Polytopal realizations and Hopf algebra structures for lattice quotients of the weak order
Résumé
Noncrossing arc diagrams provide a powerful combinatorial model for the equivalence classes of the lattice congruences of the weak order on permutations. In this extended abstract, we use these models to construct geometric and algebraic structures on weak order quotients. On the geometric side, we construct, for any given congruence, a polytope whose normal fan is the quotient fan obtained by gluing together the cones of the braid fan that belong to the same congruence class. On the algebraic side, we define Hopf algebra structures which extend classical structures, including the Malvenuto-Reutenauer algebra, the Loday-Ronco algebra, and the Cambrian algebra.
Les diagrammes d’arcs sans croisements fournissent un modèle combinatoire efficace pour les classes d’équivalence des congruences de treillis de l’ordre faible sur les permutations. Dans ce résumé étendu, nous utilisons ces modèles pour construire des structures algébriques et géométriques sur les quotients de l’ordre faible. Côté géométrique, nous construisons pour toute congruence un polytope dont l’éventail normal est l’éventail quotient obtenu en collant ensemble les cônes de l’éventail de tresses qui appartiennent à une même classe de congruence. Côté algébrique, nous définissons des structures d’algèbres de Hopf qui généralisent les structures classiques, notamment les algèbres de Malvenuto-Reutenauer, de Loday-Ronco, et Cambrienne.
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