Deux modèles de population dans un environnement périodique lent ou rapide
Résumé
Man studiert zwei Probleme der Bevölkerungsdynamik in einem langsamen oder schnellen periodischen Umfeld. Erstens wird ein Näherungspolynom für die Wahrscheinlichkeit des Aussterbens eines überkritischen linearen Geburts- und Todesprozesses mit periodischen Koeffizienten erhalten, wenn die Periode groß oder klein ist. Wenn die Geburtsrate kleiner als die Sterberate während eines Teils der Periode ist, und wenn die Periode gegen unendlich konvergiert, dann konvergiert die Wahrscheinlichkeit des Austerbens gegen eine diskontinuierliche Grenzfunktion, verbunden mit einem "canard" in einem langsam-schnellen System. Zweitens wird ein nichtlineares S-I-R-Epidemie-Modell untersucht, wenn die Kontaktrate schnell schwankt. Die endgültige Größe der Epidemie kommt demjenigen nahe, das man erhält, wenn man die Kontaktrate durch ihren Mittelwert ersetzt. Eine Annäherung kann analytisch berechnet werden, wenn die Reproduzierbarkeit der Epidemie nahe bei 1 liegt. Die Differenz, die positiv oder negativ sein kann, ist proportional sowohl zur Schwingungsdauer als auch zur Anfangsfraktion der infizierten Personen.
On aborde deux problèmes en dynamique des populations dans un environnement périodique lent ou rapide. Dans un premier temps, on obtient un développement limité pour la probabilité de non-extinction d'un processus linéaire de naissance et de mort surcritique à coefficients périodiques lorsque la période est grande ou petite. Si le taux de naissance est inférieur à la mortalité pendant une partie de la période et si la période tend vers l'infini, alors la probabilité de non-extinction tend vers une limite discontinue, liée à un ≪ canard ≫ dans un système lent-rapide. Dans un deuxième temps, on étudie un modèle épidémique non linéaire de type S-I-R lorsque le taux de contact oscille rapidement. La taille finale de l'épidémie est proche de celle que l'on obtient en remplaçant le taux de contact par sa moyenne. Une approximation de la correction peut être calculée analytiquement lorsque la reproductivité de l'épidémie est proche de 1. La correction, qui peut être positive ou négative, est proportionnelle à la fois a la période des oscillations et à la fraction initiale de personnes infectées.
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