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Journal Articles Analysis & PDE Year : 2023

Wandering domains arising from Lavaurs maps with Siegel disks

Abstract

The classification of Fatou components for rational functions was concluded with Sullivan's proof of the No Wandering Domains Theorem in 1985. In 2016 it was shown, in joint work of the first and last author with Buff, Dujardin and Raissy, that wandering domains do exist in higher dimensions. In fact, wandering domains arise even for a seemingly simple class of maps: polynomial skew products. While the construction gives an infinite dimensional class of examples, and has been extended to polynomial automorphisms of C 4 by Hahn and the last author, the currently known wandering domains are essentially unique. Our goal in this paper is to construct a second example, arising from similar techniques , but with distinctly different dynamical behavior. Instead of wandering domains arising from a Lavaurs map with an attracting fixed point, we construct a domain arising from a Lavaurs map with a fixed point of Siegel type. Siegel disks are not robust under perturbations, as opposed to attracting fixed points. We prove a necessary and sufficient condition for the existence of a so-called trapping domain for non-autonomous dynamical systems given by sequences of maps converging parabolically towards a Siegel type limit map. Guaranteeing that this condition is satisfied in our current construction requires a reconsideration of the proof of the original wandering domain, as more precise estimates on the rate of convergence towards the Lavaurs map are required. By adapting ideas introduced recently by Bedford, Smillie and Ueda, and by proving the existence of parabolic curves, with control on their domains of definition, we prove that the convergence rate is parabolic.
Le théorème de non-errance de Sullivan a conclu en 1985 la classification des composantes de Fatou des fractions rationnelles. En 2016, dans un travail en collaboration entre les premiers et derniers auteurs ainsi que Buff, Dujardin et Raissy, il a été prouvé que les domaines errants existent en dimensions supérieures. Plus précisément, des domaines errants peuvent apparaître même pour une classe d'applications polyno-miales apparemment simple : les produits fibrés polynomiaux. Même si la construction fournit une infinité d'exemples, et a été étendue aux automorphismes polynomiaux de C 4 par Hahn et le dernier auteur, les domaines errants connus jusqu'à présent sont essentiellement uniques. Notre but dans ce papier est de construire un second exemple, en utilisant des techniques similaires, mais avec un comportement dynamique différent. Au lieu de produire des domaines errants à partir d'une application de Lavaurs avec un point fixe attractif, nous travaillons avec une application de Lavaurs ayant un point fixe de Siegel. Les disques de Siegel ne sont pas robustes par perturbations, contrairement aux points fixes attractifs. On prouve une condition nécessaire et suffisante d'existence de régions pièges pour des systèmes dynamiques non-autonomes donnés par des compositions d'applications convergeant à une vitesse parabolique vers une application limite de type Siegel. Pour garantir que cette condition est satisfaite dans notre situation, il est nécessaire de revenir sur la preuve de la construction de domaines errants, pour obtenir des estimations plus précises sur la vitesse de convergence. En adaptant certaines idées de Bedford, Smillie et Ueda, et en prouvant l'existence de courbes paraboliques sur un domaine approprié, on détermine un équivalent du reste dans la convergence vers l'application de Lavaurs.
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Dates and versions

hal-02177981 , version 1 (09-07-2019)

Identifiers

  • HAL Id : hal-02177981 , version 1

Cite

Matthieu Astorg, Luka Boc Thaler, Han Peters. Wandering domains arising from Lavaurs maps with Siegel disks. Analysis & PDE, In press. ⟨hal-02177981⟩
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